山东省枣庄市薛城区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $\frac{a - b}{a} = \frac{1}{3}$ ，那么 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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2. 一个三角形的两条边长分别是方程x²﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（）

A、5 B、6 C、7.5 D、12

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3. 如图，菱形花坛ABCD的周长为80m，∠ABC＝120°，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，则小路AC的长是（）

A、20 $\sqrt{3}$ m B、10 $\sqrt{3}$ m C、20m D、20m

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4. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个实数根，则a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 4$ B、 $a > - 3$ C、 $a \geq - 3$ 且 $a \neq 1$ D、 $a > - 3$ 且 $a \neq 1$

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5. 某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米.设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（）

A、 $6.5 {(1 - x)}^{2} = 5.265$ B、 $6.5 {(1 + x)}^{2} = 5.265$ C、 $5.265 {(1 - x)}^{2} = 6.5$ D、 $5.265 {(1 + x)}^{2} = 6.5$

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6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两个正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 如图， $B C / / E D$ ，下列说法错误的是（）

A、两个三角形是位似图形 B、点A是两个三角形的位似中心 C、点B与点D、点C与点E是对应位似点 D、 $A C ： A B$ 是相似比

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8. 如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（）

A、 $5 \sqrt{5} - 5$ B、 $15 - 5 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{5} + 5$ D、 $15 - 5 \sqrt{5}$ 或 $5 \sqrt{5} - 5$

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9. 已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x₁=﹣2，x₂=4，则m+n的值是（）

A、﹣10 B、10 C、﹣6 D、2

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10. 如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝6，AD⊥AB于点A，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（）

A、27 B、3 C、9 D、3 $\sqrt{2}$ +6

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12. 如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是（）

A、27 B、13.5 C、20 D、15

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二、填空题

13. 一元二次方程（x﹣2）²＝2﹣x的解为．

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14. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．当△ACP∽△PDB时，∠APB＝°．

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15. 一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有颗．

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．

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17. 设x₁ ， x₂是一元二次方程2x²﹣3x﹣10＝0的两根，则 $2 x_{1}^{2} - 2 x_{1} + x_{2}$ ＝．

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18. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝ $\sqrt{2}$ ，DG＝2 $\sqrt{2}$ ，H是AF的中点，那么CH的长是．

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三、解答题

19. 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2x²﹣3x﹣5＝0．

解：2x²﹣3x﹣5＝0．

$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2}$ ，第一步

$x^{2} - \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{5}{2} + {(\frac{3}{4})}^{2}$ ，第二步

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{49}{16}$ ，第三步

$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4}$ ，第四步

$x - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ ，或 $x - \frac{3}{4} = - \frac{7}{4}$ ，第五步

x₁＝ $\frac{5}{2}$ ，x₂＝﹣1．第六步

(1)、①小颖解方程的方法是；
A．直接开平方法

B．因式分解法

C．配方法

D．公式法

②解方程过程中第二步变形的依据是；

(2)、请你用“公式法“解该方程.2x²﹣3x﹣5＝0

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20. 如图， $Δ A B C$ 中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒．

(1)、根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）

(2)、t为何值时， $Δ C P Q$ 与 $Δ A B C$ 相似．

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21. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A₁、A₂ ，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．

(1)、从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．

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22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．

（ 1 ）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；

（ 2 ）以点O为位似中心，将△ABC作位似变换得到△A₂B₂C₂ ，使得A₂B₂＝2AB，画出位似变换后的△A₂B₂C₂ ，并求此时点B₂坐标；

（ 3 ）A₁C₁和B₂C₂之间的位置关系为 ▲ ．

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23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C

(1)、求证：△ABF∽△EAD

(2)、若AB=4，S_ABCD= $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ ，求AE的长

(3)、在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）

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24. 超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．

(1)、当一件商品降价5元时，每天销售量可达到件，每天共盈利元；

(2)、在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？

(3)、在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由．

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25. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过D作DG⊥CF于点G．

(1)、求证：四边形ADCF是平行四边形；

(2)、当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？

(3)、在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．

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