山东省德州禹城市2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程属于一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - \frac{2}{x^{2}} = 3$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} + 3 = 0$ D、 ${(2 x + 1)}^{2} - 5 = 4 x^{2}$

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2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 二次函数 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} - 5$ 的图像的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 5)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(- 2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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4. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 的两个根，则 $k$ 的值为（）

A、3 B、4 C、3或4 D、7

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5. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线解析式为（）

A、 $y = - x^{2} - 1$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = x^{2} - 1$ D、 $y = x^{2} + 1$

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6. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）

A、55° B、65° C、60° D、75°

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7. 某市要组织一次青少年排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每一天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛.（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， $∠ A O B = ∠ B = 30 °$ ， $O A = 2$ ．将 $△ A O B$ 绕点逆时针旋转90°，点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- \sqrt{3} ， 3)$ B、 $(- 3 ， \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ D、 $(- 1 ， 2 \sqrt{3})$

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9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax²+bx与y=bx+a的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A D}$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点 $G$ ．若 $∠ C O D = 126 °$ ．则 $∠ A G B$ 的度数为（）

A、 $99 °$ B、 $108 °$ C、 $110 °$ D、 $117 °$

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11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A、若 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(5 ， y_{2})$ 是图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ B、 $3 a + c = 0$ C、当 $- 1 < x < 3$ 时， $y < 0$ D、当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小

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12. 如图，在边长为6的正方形ABCD内作 $∠ E A F = 45 °$ ，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转90°得到 $△ A B G$ ．若 $D F = 3$ ，则BE的长为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为．

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14. 如图，新改造的地下圆形排水管道，其中水面的宽度是4m，排水管道内水的深度是8m，则排水管道的截面直径是m．

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中，四边形 $O A B C$ 为菱形，点 $D$ 在 $\overset{⌢}{A m C}$ 上，则 $∠ A D C$ 的度数是．

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16. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则 $∠ B$ 的大小为.

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17. 已知m，n是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两根，则 $m^{2} - m n + 2 m =$ ．

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18. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a < 0$ ）经过 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 4 ， 0)$ 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 4$ ；

②若点 $C (- 5 ， y_{1})$ ， $D (π ， y_{2})$ 在该抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；

③对于任意实数 $t$ ，总有 $a t^{2} + b t \leq a - b$ ；

④对于 $a$ 的每一个确定值，若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = p$ （ $p$ 为常数， $p > 0$ ）的根为整数，则 $p$ 的值只有两个.

其中正确的结论是（填写序号）.

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $5 x^{2} - 3 x = x + 1$

(2)、 $3 x (2 x + 1) = 4 x + 2$

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20. 在如图所示的正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，请在所给网格中按要求画图和解答下列问题．

（ 1 ）作出 $△ A B C$ 关于点O成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $C_{1}$ 点的坐标；

（ 2 ）作出 $△ A B C$ 绕点O逆时针旋转90°的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 的坐标；

（ 3 ）写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 经过怎样的旋转可直接得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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21. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0$ 的两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 28$ ，求 $m$ 的值；

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22. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

(1)、当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)、当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?

(3)、当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

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23. 如图所示，AB为 $⊙ O$ 的直径， $A B = A C$ ，BC交 $⊙ O$ 于点D，AC交 $⊙ O$ 于点E．

(1)、若 $∠ B A C = 50 °$ ，求 $∠ E B C$ 的度数．

(2)、连接DE，若 $D E = 2$ ，求BC的长．

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24. 如图：

(1)、如图①，已知 $△ A B O$ 是等边三角形，若将 $△ O A A^{'}$ 绕点O逆时针旋转到 $△ O B B^{'}$ 的位置，则 $△ O A^{'} B^{'}$ 是三角形；

(2)、变式：如图②，若将（1）中的 $△ A B O$ 改为等腰直角三角形， $∠ A O B = 90 °$ 其他条件不变，则 $△ O A^{'} B^{'}$ 是三角形

(3)、解决问题：借助以上结论，请你利用旋转的知识来解决下面的问题．
如图③已知点P是正方形ABCD内一点， $A P = \sqrt{5}$ ， $B P = \sqrt{2}$ ， $C P = 1$ ，将 $△ B P C$ 绕点B逆时针旋转到 $△ B P^{'} A$ 的位置，求 $∠ B P C$ 的度数．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA=2，OB=4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 $\frac{9}{2}$ 时，求△ABD的面积．

(3)、在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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