辽宁省葫芦岛市连山区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} - x + m^{2} - 4 = 0$ 的常数项为 $0$ ，则 $m$ 的值等于（）

A、2 B、−2 C、±2 D、−4

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2. 若关于x的一元二次方程 $(k - 3) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k < 7$ B、 $k < 7$ ，且 $k \neq 3$ C、 $k \leq 7$ ，且 $k \neq 3$ D、 $k > 7$

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3. 下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一次函数 $y = a x + b$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 8 x + 6$ 的图象交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点．若其图象上有且只有 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 三点满足 $S_{△ A B P_{1}} = S_{△ A B P_{2}} = S_{△ A B P_{3}} = m$ ，则 $m$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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6. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $55 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ E = 70 °$ 且 $A D ⊥ B C$ 于点F，则 $∠ D A E$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $75 °$

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7. 往直径为 $52 c m$ 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 $A B = 48 c m$ ，则水的最大深度为（）

A、 $8 c m$ B、 $10 c m$ C、 $16 c m$ D、 $20 c m$

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8. 如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝ $\sqrt{2}$ ，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）

A、95° B、100° C、105° D、110°

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9. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（）

A、60° B、60°或120° C、30° D、30°或150°

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10. 如图，平行四边形纸片ABCD，CD=5，BC=2，∠A=60°，将纸片折叠，使点A落在射线AD上（记为点A′），折痕与AB交于点P，设AP的长为x，折叠后纸片重叠部分的面积为y，可以表示y与x之间关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个解是 $x = - 1$ ，则 $2021 - a + b =$ ．

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12. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x + k$ 的图象的顶点在x轴上方，则实数k的取值范围是．

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13. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x²﹣4x+5有最大值m，则m＝.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $A B C D$ 的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(6 ， 4)$ ．一条直线经过点 $F (0 ， - 2)$ ．且将平行四边形 $A B C D$ 分割成面积相等的两部分，则此直线的表达式是．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ A D C = 150 °$ ，弦 $A C = 2$ ，则 $⊙ O$ 的半径等于．

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16. 将半径为 $9cm$ 的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是 $120 °$ ，则该圆锥底面的半径为 $cm$ ．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B A C = 30 ° ， B C = 2$ ，边 $A B$ 上有一动点P，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ 得 $△ D E C$ ，点P的对应点为 $P^{'}$ ，连接 $P P^{'}$ ，则 $P P^{'}$ 长的最小值为．

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18. 如图，P是正方形 $A B C D$ 内一点， $P A = 2 ， P B = 3 ， P D = 1$ ，将线段 $A P$ 以点A为旋转中心逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A P^{'}$ ，连接 $D P^{'}$ 下列结论：
① $△ A P^{'} D$ 可以由 $△ A P B$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到；②点P与 $P^{'}$ 的距离为2；③ $∠ A P D = 135 °$ ；④ $S_{正方形}_{A B C D} = 5 + 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $S_{△ A P B} = 2 + \sqrt{2}$ ．其中正确的结论是（填序号）．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ．

(2)、 ${(x + 3)}^{2} = 2 x + 6$

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20. 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为 $(- 3 ， 0) ， (- 1 ， - 1)$ ．

(1)、请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标；

(2)、将 $△ A B C$ 绕着坐标原点顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(3)、设 $P (a ， b)$ 为 $△ A B C$ 边上一点，在 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 上与点P对应的点是 $P^{'}$ ，则点 $P^{'}$ 坐标为；

(4)、在上述旋转过程中，点A所经过的路径长为．

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21. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

(1)、如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

(2)、按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 12$ ，以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点E，连接 $O C$ ，若 $O C = A B$ ．

(1)、求 $E C$ 的长度？

(2)、求线段 $A B ， B E$ 与弧 $A E$ 围成的图形（阴影部分）的面积？

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23. 如图，等边三角形 $A B C$ ，点O在 $A B$ 上，以点O为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点D，作 $D E ⊥ B C$ 于点E，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $R = 6$ ，且 $A D ： D C = 3 ： 2$ 时，求 $B D$ 的长度．

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24. 某服装厂生产A品种服装，每件成本为67元，向外批发时，要求批发件数x为10的正整数倍，且 $x \geq 100$ ；零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系．

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、零售商到此服装一次性批发A品牌服 $x (100 \leq x \leq 350)$ 件，服装厂的利润为w元，问x为何值时，w最大？最大值是多少？

(3)、零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装件数x在什么范围时？可使服装厂获利不低于4420元，请直接写出结果．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ A B C = ∠ A E D = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $A E = D E$ ，连接 $C D$ ，点H为 $C D$ 的中点，连接 $E H$ ， $B H$ ，将 $△ A D E$ 绕点A旋转．

(1)、如图1，当点D在 $B A$ 延长线上时，直接写出线段 $E H$ 和 $B H$ 之间的数量关系为．位置关系为．

(2)、如图2，当点D旋转到 $C A$ 延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、若 $B C = 3$ ， $D E = \sqrt{2}$ ，当 $∠ B A D = 90 °$ 时，请直接写出线段 $H E$ 的长．

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26. 如图，在半面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A、B，其中点A的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点D为抛物线上 $A C$ 上方的一个动点，过点D作 $D E ∥ y$ 轴，交 $A C$ 于点E，过D作 $D F ⊥ D E$ ，交直线 $A C$ 于点F，以 $D E$ 、 $D F$ 为边作矩形 $D E G F$ ，设矩形 $D E G F$ 的周长为l，求l的最大值；

(3)、点P是x轴上一动点，将线段 $P C$ 绕点P旋转 $90 °$ 得到 $P Q$ ，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．

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