浙江省9 1高中联盟2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {x ∣ x^{2} - 6 x + 5 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 5)$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 复数 $z = a + (2 - a) i$ （ $a \in R ， i$ 为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 $y = x$ 上，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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3. 一个正棱柱的正视图和俯视图如图所示（单位： $c m$ ），则该三棱柱侧视图的面积（单位： $c m^{2}$ ）是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{| x |} - 2}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $△ A B C$ 中，“角 $A$ 为锐角”是“ $s i n A > c o s A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $P$ 为平面区域 $M ： {\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + \sqrt{3} y \leq \sqrt{3} \end{array}$ 内任意一点，则点 $P$ 到平面区域 $M$ 的边界的距离之和最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少都出现一次，这样的五位数共有（）个

A、120 B、150 C、210 D、240

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交双曲线的右支于 $A ， B$ 两点．点 $M$ 满足 $\vec{A B} + \vec{A F_{1}} = 2 \vec{A M}$ ，且 $\vec{A M} \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ．若 $c o s ∠ A F_{1} B = \frac{1}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 3$ ，若 $a > 0$ ， $b$ ， $c \in R$ ，且 $f (x) - f (a) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，则 $\frac{1}{b + 4} + \frac{1}{c + 4}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{8}{13} ， \frac{\sqrt{5} + 2}{6}]$ B、 $[\frac{2}{3} ， \frac{\sqrt{5} + 2}{6}]$ C、 $(\frac{8}{13} ， \frac{\sqrt{3} + 2}{5}]$ D、 $[\frac{2}{3} ， \frac{\sqrt{3} + 2}{5}]$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1 ， a_{2} = \frac{1}{2} ， 2^{a_{n}} - 2^{a_{n + 1}} = (2^{a_{n}} - 1) (2^{a_{n + 1}} - 1) ， n \geq 2 ， n \in N^{*}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $7 < S_{2021} < 8$ B、 $8 < S_{2021} < 9$ C、 $9 < S_{2021} < 10$ D、 $10 < S_{2021} < 11$

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二、填空题

11. 直线 $l_{1} ： a x + 3 y - a = 0$ 过定点，直线 $l_{2} ： x + 2 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a$ =

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12. 袋中装有大小相同的2个红球和1个黄球，小明无放回地连续摸取2次，每次从中摸取1个．记摸到红球的个数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 1) =$ ， $E (ξ) =$

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13. 已知 $f_{n} (x) = C_{7}^{n} x^{n} ， n \leq 7$ 且 $n \in N^{*}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的通项满足 $a_{n} = f_{n} (- 2)$ ，则 $a_{2} =$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{7} =$

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14. 已知 $△ A B C$ ，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $c = 2$ ， $∠ C$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ．若 $s i n A + s i n B = 2 s i n ∠ A C B$ ，则 $a + b =$ ， $C D$ 的取值范围是

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15. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = A B$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的大小为

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16. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， & x \geq 0 \\ g (x) ， & x < 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $f (g (- 2)) =$

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17. 已知平面向量 $a ， b ， c$ 满足： $| a | = | b | = 2 ， a \cdot b = 0 ， | c + \frac{1}{2} a | = 1$ ，当 $a - c$ 与 $b - c$ 所成角 $θ$ 最大时，则 $s i n θ =$

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = c o s \frac{x}{4} s i n \frac{x}{4} + c o s^{2} \frac{x}{4}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0 ， 2 π]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 在 $R t △ P C D$ 中， $D P = D C$ ， $A$ 、 $B$ 分别为 $P D$ 、 $P C$ 的中点，将 $△ P A B$ 沿着直线 $A B$ 翻折，得到多面体 $S - A B C D$ ．若二面角 $S - A B - D$ 大小为 $6 0^{∘}$ ， $M$ 为 $B S$ 中点．

(1)、求证： $S A ⊥ D M$ ；

(2)、求直线 $S A$ 与平面 $S M D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差大于0的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} \cdot a_{3} = 15 ， S_{1} ， S_{2} ， S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则是否存在正整数 $m ， n (m \neq n)$ ，使得 $T_{2} ， T_{m} ， T_{n}$ 成等差数列？若存在，求出 $m ， n$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P$ 是抛物线上横坐标为2的点，且 $| P F | = 3$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $M ， N$ 两点，若 $| M N | = 4$ ，且弦 $M N$ 的中点在圆 $(x - a)^{2} + y^{2} = 1$ 上，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n x + a (x - 1) ， a \in R$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $\frac{1}{l n x_{1} + a} + \frac{1}{l n x_{2} + a} + \frac{1}{l n x_{3} + a} < \frac{3}{a}$ ．

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