陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + l n x$ 的定义域是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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2. $\sin 80^{°} \cos 50^{°} + \cos 140^{°} \sin 10^{°}$ $=$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的一个对称中心的坐标是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(0 ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{6} ， 0)$

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4. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - s i n^{2} x + 2$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、-4 B、3 C、4 D、5

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5. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图所示，已知 $\vec{A C} = 3 \vec{B C}$ ， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则下列等式中成立的是（）

A、 $c = \frac{3}{2} b - \frac{1}{2} a$ B、 $c = 2 b - a$ C、 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ D、 $c = \frac{3}{2} a - \frac{1}{2} b$

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7. 下列函数中，与函数y＝2^x－2^－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　　)

A、y＝sin x B、y＝x³ C、y＝ ${(\frac{1}{2})}^{x}$ D、y＝log₂x

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8. 把函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = 2 s i n (x - \frac{π}{3})$ 的图像.则函数 $f (x)$ 的一个解析式为 $f (x) =$ （）

A、 $2 c o s (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $2 c o s (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$

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9. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 设a=log₃2，b=log₅3，c= $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 1$ 在区间 $(- \infty ， 1]$ 上递减，且当 $x \in [0 ， t + 1]$ 时，有 $f (x)_{m a x} - f (x)_{m i n} \leq 2$ ，则实数t的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ B、 $[1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[1 ， 2]$

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12. 函数 $f (x)$ 的导函数为 $f (x)$ ，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) > - f (x)$ 成立，若 $f (l n 2) = \frac{1}{2}$ ，则满足不等式 $f (x) > \frac{1}{e^{x}}$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(l n 2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， l n 2)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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14. 若 $t a n α = 2$ ，则 $s i n 2 α$ =.

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15. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ．若 $f (1) = \frac{e}{4}$ ，则a= ．

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16. 魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度（示意图如图所示），测得以下数据（单位：米）：前表却行 $D G = 1$ ，表高 $C D = E F = 2$ ，后表却行 $F H = 3$ ，表间 $D F = 85$ .则塔高 $A B =$ 米.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴为直线 $x = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $ϕ$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $c s i n A - a c o s C = 0$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $b = 4 ， △ A B C$ 的面积为6，求边长c的值.

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19. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log_a(x＋1)(a＞0，且a≠1)．

(1)、求函数f(x)的解析式；

(2)、若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的极值.

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21. 某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为500万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 台，需另投入成本 $y_{1}$ 万元.若年产量不足80台，则 $y_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ ；若年产量不小于80台，则 $y_{1} = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ .每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)、写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；

(2)、当年产量为多少台时，年利润最大？

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ，其中 $a > 0$ ， e为自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有两个零点，求a的取值范围.

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