山东省临沂市2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | - 1 < x < 5}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A$ 、 $B$ 间的关系为（）

A、 $A = B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A ∈ B$ D、 $A \subseteq B$

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2. 若复数 $z = \frac{1}{2 + i^{3}}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面直角坐标系内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 3^{- x} + l o g_{\frac{1}{2}} (1 - x)$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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4. 设命题甲： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x + 1 > 0$ 是真命题；命题乙：函数 $y = l o g_{2 a - 1} x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $α \in (\frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + c o s 2 α}{2}} - \sqrt{\frac{1 - c o s 2 α}{2}} =$ （）

A、 $c o s α - s i n α$ B、 $- c o s α - s i n α$ C、 $c o s α + s i n α$ D、 $- c o s α + s i n α$

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6. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 0.8}$ ， $b = l o g_{\frac{1}{2}} \frac{2}{3}$ ， $c = 4^{0.3}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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7. 如图，等腰梯形ABCD中， $A B = B C = C D = 3 A D$ ，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则 $\vec{F E} =$ （）

A、 $- \frac{13}{18} \vec{A B} + \frac{5}{18} \vec{A C}$ B、 $- \frac{13}{18} \vec{A B} + \frac{1}{18} \vec{A C}$ C、 $- \frac{11}{18} \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A C}$ D、 $- \frac{11}{18} \vec{A B} + \frac{11}{9} \vec{A C}$

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8. 设函数 $y = f (x)$ 在区间D上的导函数为 $f (x)$ ， $f (x)$ 在区间D上的导函数为 $g (x)$ ，若在区间D上， $g (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数， $f (x) = \frac{x^{4}}{12} - \frac{m x^{3}}{6} - 3 x^{2}$ ，若对满足 $| m | \leq 1$ 的任何一个实数m，函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上都为“凸函数”，则 $b - a$ 的最大值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、多选题

9. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q > 0$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{5} = 63$ B、 $q = 2$ C、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 D、数列 ${l g a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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10. 已知正数 $a$ ， $c$ 满足 $l g a + l g c = l g (a + c)$ ，以下四个结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = 1$ B、 $a c$ 的最小值为4 C、 $a c + \frac{1}{a c}$ 的最小值为2 D、 $a + c + a c$ 的最小值为8

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11. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，其图象的一个最高点是 $P (\frac{π}{3} ， 2)$ ，距离 $P$ 点最近的对称中心为 $(\frac{π}{4} ， 0)$ ，则（）

A、 $ω = 6$ B、 $x \in (- \frac{π}{6} ， 0)$ 时，函数 $f (x)$ 单调递增 C、 $x = \frac{13 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 图象向右平移 $ϕ (ϕ > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是奇函数，则 $ϕ$ 的最小值是 $\frac{π}{6}$

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12. 法国数学家柯西（A. Cauchy. 1789-1857）研究了函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- \frac{1}{x^{2}}} ， x \neq 0 \\ 0 ， x = 0 \end{array}$ 的相关性质，并证明了 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的各阶导数均为0.对于函数 $f (x)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增 C、 $f (- π) > f (e)$ D、若 $a \leq f (x) < b$ 恒成立，则 $b - a$ 的最小值为1

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{A B} = (2 ， t)$ ， $\vec{A C} = (3 ， 3)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ .

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14. 函数 $f (x) = x + 2^{x} - m$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上存在零点，则m的取值范围是.

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15. 一艘渔船航行到A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为 $2 \sqrt{6}$ 海里，灯塔C在A的北偏西45°，距离为 $3 \sqrt{2}$ 海里，该船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东45°方向，则 $C D =$ 海里.

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16. 已知递增的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $2 a_{2}$ ， $\frac{3}{2} a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，前5项和 $S_{5} = 31$ ，则 $a_{n} =$ ；数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{2}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， …， $\underset{(2 n - 1) a_{n}}{\underset{⏟}{a_{n} ， a_{n} ， ⋯ ， a_{n}}}$ ， …的前100项和为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 4 c o s (\frac{π}{2} - x) s i n (x + \frac{2 π}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) > 1 - m$ 对 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 恒成立，求m的取值范围.

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18. 在① $a_{1} = - 9$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 成等比数列；② $a_{2} + a_{3} = - 12$ ； $a_{6} = 1$ ；③ $S_{n} = n^{2} - 10 n$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，且____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{m} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{m}$ ，是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $T_{m}$ 取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - a x$ 在 $x = 2$ 处的切线与直线 $2 x + y - 3 = 0$ 平行.

(1)、求a；

(2)、设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2} - b x$ ，若函数 $g (x)$ 存在单调递减区间，求b的取值范围.

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20. 记△ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (a - b c o s C) = c s i n B$ ，点M在AC上，且 $A M = \frac{1}{2} M C$ ， $B M = 1$ .

(1)、求B；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 为净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 $a (1 \leq a \leq 4)$ 个单位的净化剂，空气中该净化剂释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为 $y = a f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + \frac{x}{8} ， 0 \leq x \leq 4 \\ \frac{9}{x + 2} ， x > 4 \end{array}$ ，若多次喷洒，则某一时刻空气中净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用.

(1)、若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？

(2)、若第一次喷洒4个单位的净化剂，6小时后再喷洒2个单位的净化剂，问能否使接下来的4个小时内起到持续净化空气的作用？请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - c o s x$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论 $f (x)$ 极值点的个数.

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