高中数学人教A版（2019）必修一第四章指数函数与对数函数

试卷更新日期：2021-12-21 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 函数 $y = (a^{2} - 4 a + 4) a^{x}$ 是指数函数，则有（）

A、a＝1或a＝3 B、a＝1 C、a＝3 D、a＞0且a≠1

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2. 若函数 $f (x)$ 的定义域是区间 $[a ， b]$ ，则“ $f (a) f (b) < 0$ ”是“函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 内存在零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100 万？ (参考数据：1g 1.2=0.079 0，lg 5=0.699 0)（）．

A、43 B、45 C、47 D、49

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4. 函数 $f (x) = a^{x}$ 与 $g (x) = \log_{\frac{1}{a}} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在同一坐标系中的图象可以是（）

A、 B、

C、 D、

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5. 已知 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = \log_{8} 3$ ， $c = \frac{1}{2} \ln \sqrt{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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6. 以下四个关系中，能得到 $m > n$ 的是（）

A、 $2^{m} < 2^{n}$ B、 ${0.2}^{m} > {0.2}^{n}$ C、 $a^{m} > a^{n} (a > 1)$ D、 $a^{m} > a^{n} (0 < a < 1)$

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7. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 3) ， x < a \\ x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + 3 ， x \geq a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内恰有4个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(\frac{11}{4} ， 3) \cup (9 - \sqrt{6} ， 9)$ B、 $(\frac{11}{4} ， 3) \cup (6 ， 9 - \sqrt{6})$ C、 $(3 ， \frac{13}{4}) \cup (9 - \sqrt{6} ， 9)$ D、 $(3 ， \frac{13}{4}) \cup (6 ， 9 - \sqrt{6})$

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8. 已知函数 $y = \ln x$ （ $\frac{1}{e} \leq x \leq e$ ）的图象上存在点 $P$ ，函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + c$ 的图象上存在点 $Q$ ，且 $P$ 、 $Q$ 关于 $x$ 轴对称，则实数 $c$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 1 + \frac{1}{2 e^{2}}]$ B、 $[1 + \frac{1}{2 e^{2}} ， \frac{e^{2}}{2} - 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{e^{2}}{2} - 1]$ D、 $[1 ， 1 + \frac{2}{2 e^{2}}]$

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二、多选题

9. 一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < - 1$ D、 $a < - 2$

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10. 下列命题正确的有（）

A、函数 $f (x) = \ln x + x - 2$ 有1个零点 B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ 的最大值为1 C、 $f (x) = \lg x^{2}$ 与 $g (x) = 2 \lg x$ 是同一函数 D、 $f (x) = \lg \frac{x - 1}{x + 1}$ 是奇函数

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11. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a > b > 1 > c > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $c^{a} > c^{b}$ B、 $\log_{a} c > \log_{b} c$ C、 $\log_{\frac{1}{3}} a < a^{\frac{1}{3}}$ D、 $a^{\frac{2}{3}} < b^{\frac{2}{3}}$

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12. 已知函数 $f （ x ） = | x^{2} - 2 a x + b |$ ，给出下列命题，其中是真命题的是（）

A、若 $a^{2} - b \leq 0$ ，则 $f （ x ）$ 在区间 $[a ， + \infty)$ 上是增函数 B、存在 $a \in R$ ，使得 $f （ x ）$ 为偶函数 C、若 $f （ 0 ） = f （ 2 ）$ ，则 $f （ x ）$ 的图象关于 $x ＝ 1$ 对称 D、若 $| a^{2} - b | < 3$ ，则函数 $h （ x ） = f （ x ） - 3$ 有2个零点

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三、填空题

13. 计算： $16^{\frac{3}{4}} - 8 \times {(\frac{64}{49})}^{- \frac{1}{2}} - 8 \times {(\frac{8}{7})}^{- 1} =$ .

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14. 对于任意的 $a (a > 0 ， a \neq 1)$ ，函数 $y = a^{x - 1} + 1$ 的图象恒过定点，则此定点坐标是.

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15. 函数 $f (x) = \lg (2 k x^{2} - x + \frac{3}{8})$ 的值域为 $R$ ，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 4 x - 2 ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有两个零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = | x - 1 | + 1$ ， $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 3 \\ 12 - 3 x ， x > 3 \end{array}$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 2 x + 3$ ；

(2)、若方程 $F (x) = a$ 有三个解，求实数的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = a^{x - 1}$ (a>0，且a≠1)的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{3})$ .

(1)、求a的值；

(2)、设不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为A，求函数 $y = f (x) (x \in A)$ 的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + b x + 1}{a x} (a > 0)$ 为奇函数，且函数 $y = f (x) - 2$ 有且只有一个零点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (x) \geq \frac{5}{2}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ $(a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 在区间 $[\frac{1}{9} ， 3]$ 上的最大值为2.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、如果 $0 < a < 1$ ，求使 $f (f (x) - 2) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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21. 某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足 $M = {\begin{array}{l} 4 \sqrt{a} + 25 ， 15 \leq a \leq 36 \\ 49 ， 36 \leq a \leq 57 \end{array} ， N = \frac{1}{2} a + 20$ ．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）．

(1)、当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；

(2)、试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？

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22. 已知命题 $p ： \exists x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $2 x^{2} - 4 a x - 1 \leq 0$ 成立：命题 $q ：$ 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 a x + 3 a)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 单调递减；

(1)、若命题p为假命题，求实数a的取值范围；

(2)、如果 $p \lor q$ 是真命题，求实数a的取值范围．

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第四章 指数函数与对数函数

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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