湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系同步练习

试卷更新日期：2021-12-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = 2$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 的两个根，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $- 1 < x_{1} < 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} < 0$ B、 $4 < x_{2} < 5$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $a b > 0$

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2. 如图，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax²+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，那么该方程的另一个根为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、3

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3. 若函数y=ax²+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax²+bx+5=0的根的情况为（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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4. 如图，若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(-1，0)，给出下列结论：其中正确的个数是（）

①当x>0时，y随x的增大而减小；②am²+bm+c<a+b+c (m≠l)；③b²-4ac<0；④当y>0时，-1<x<3；⑤2a+c>0

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x ， y)的对应值如表所示，则方程ax²+bx+2.32＝0的根是（　　）

x

……

0

$\sqrt{5}$

4

……

y

……

0.32

﹣2

0.32

……

A、0或4 B、1或5 C、 $\sqrt{5}$ 或4﹣ $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{5}$ ﹣2

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6. 如图所示二次函数y＝ax²+bx+c的图象的一部分，图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，以下结论：①2a﹣b＝0；②abc＜0；③当﹣3＜x＜1时，y＞0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax²+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，则t的值只有3个.其中正确的有（　　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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7. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c

，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：

x	…	0	1	2	3	…
y	…	1	2	1	-2	…

则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正数解 $x_{0}$ 在下列哪个范围内（）

A、

0 < x_{0} \leq 1

B、

1 < x_{0} \leq 2

C、

2 < x_{0} \leq 3

D、

x_{0} > 3

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8. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（）

A、abc＞0 B、关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两根为3和﹣2 C、9a+c＞3b D、当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4

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9. 三个关于 $x$ 的方程： $a_{1} {(x+1)(x-2)=1，a}_{2} {(x+1)(x-2)=1，a}_{3} (x+1)(x-2)=1$ ，已知常数 $a_{1} {>a}_{2} {>a}_{3} >0$ ，若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（ )

A、 $x_{1} {<x}_{2} {<x}_{3}$ B、 $x_{1} > x_{2} > x_{3}$ C、 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ D、不能确定 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ 的大小

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10. 若抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax²＋bx＋c＝0的根为（）

A、x₁＝﹣7，x₂＝3 B、x₁＝﹣6，x₂＝4 C、x₁＝6，x₂＝﹣4 D、x₁＝7，x₂＝﹣3

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二、填空题

11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴分别交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为．

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12. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax²+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是．

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13. 已知点（1，0）是y＝x²+bx﹣2的图象上一点，则方程x²+bx﹣2＝0的根是．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，与x轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

$x$

…

$0$

$1$

$2$

$3$

…

$y$

…

$- 3$

$- 1$

$- 3$

$- 5$

…

则代数式 $(a - b + c) (a + b + c)$ 的值是．

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16. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + k$ 的部分图象如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 的解为.

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三、解答题

17. 抛物线y＝﹣x²+bx+c（b ， c为常数）与x轴交于点（x₁ ， 0）和（x₂ ， 0），与y轴交于点A ，点E为抛物线顶点．
（Ⅰ）当x₁＝﹣1，x₂＝3时，求点E ，点A的坐标；

（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；

②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）若x₁＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．

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18. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 3, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，求关于x的一元二次方程 $a {(x - 1)}^{2} + c = b - b x$ 的解.

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19. 二次函数y＝x²﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．

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20. 已知抛物线与x轴交于点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与y轴交于点 $C (0, 8)$ ，该抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

(2)、直线 $C D$ 的解析式为；

(3)、过点D作 $D H ⊥ x$ 轴于H ，在线段 $D H$ 上有一点P到直线 $C D$ 的距离等于线段 $P O$ 的长，求点P的坐标；

(4)、设直线 $C D$ 交x轴于点E ．过点B作x轴的垂线，交直线 $C D$ 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 $E F$ 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

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四、综合题

21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 6 a x - 4$ （ $a \neq 0$ ）．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、若方程 $a x^{2} - 6 a x - 4 = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 \leq x_{1} < x_{2} \leq 4$ ，结合函数的图象，求 $a$ 的取值范围．

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22. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A ， B (4 ， 0)$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），且经过点 $(- 3 ， 7)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、求 $b ， c$ 的值.

(2)、将线段 $O B$ 平移，平移后对应点 $O^{'}$ 和 $B^{'}$ 都落在拋物线上，求点 $B^{'}$ 的坐标.

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23. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），根据图象回答下列问题：

(1)、写出方程ax²+bx+c=0的根；

(2)、写出不等式ax²+bx+c＜0的解集；

(3)、若ax²+bx+c=k有实数根，k的范围应为．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 经过点（1，-1），（-2，17）.

(1)、求a，b的值

(2)、若（3，y₁），（m，y₂）是抛物线上不同的两点，且y₂=y₁+8，求m的值.

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x	……	0	$\sqrt{5}$	4	……
y	……	0.32	﹣2	0.32	……

$x$	…	$0$	$1$	$2$	$3$	…
$y$	…	$- 3$	$- 1$	$- 3$	$- 5$	…

湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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