湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题18 二次根式的加法与减法

试卷更新日期：2021-12-17 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（　　）

A、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{12} = 3 \sqrt{3}$

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $(3 + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3}) = - 3$ B、 $（ \sqrt{2} + \sqrt{3} ） \sqrt{5} = 5$ C、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{5}$ D、 $(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) = 2 a - b$

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3. 与根式 $\sqrt{2 a}$ 不是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{\frac{9}{2 a}}$ B、 $\sqrt{8 a}$ C、 $\sqrt{\frac{2 a}{3}}$ D、﹣2 $\sqrt{2 a^{3}} b^{2}$

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4. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{3 - \sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a$

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5. 下列二次根式与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $- \sqrt{12}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{8}$

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6. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = - 4$ D、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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7. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 为同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{18}}$

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8. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{{(- 7)}^{2}}$ ＝﹣7 C、 $\sqrt{18}$ ＝3 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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9. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{9}$ ＝3 B、 $\sqrt{27}$ ＝3 C、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ＝±3 D、3 $\sqrt{2}$ ﹣2 $\sqrt{2}$ ＝1

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10. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{5}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ＝ $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{5}$ ×2 $\sqrt{3}$ ＝6 $\sqrt{15}$ C、（2 $\sqrt{2}$ ）²＝16 D、 $\frac{3}{\sqrt{3}}$ ＝1

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二、填空题

11. 若最简二次根式 $\sqrt{3 a - 10}$ 和 $3 \sqrt{a - 2}$ 是同类二次根式，那么 $a =$ ．

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12. 对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：a&b＝a(a－b)＋b(a＋b)，如3&2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么 $\sqrt{3} & \sqrt{2}$ = .

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13. 计算 $\sqrt{50} - \sqrt{2}$ ＝；

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14. 计算： $\sqrt{8}$ ﹣2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ＝， $\sqrt{a^{2}} \times \sqrt{- a^{2} b^{3}}$ ＝．

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15. 已知x＝3﹣2y，则 $3 \sqrt{x - 2 y} \div \sqrt{4 x^{2} - 16 y^{2}}$ ＝．

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16. 若最简二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 与 $\sqrt{5 a - 3}$ 是同类根式，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 确定3 $\sqrt{48}$ ﹣2 $\sqrt{12}$ ＋6 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 在哪两个整数之间.

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18. 习题集上有一道题为：“先化简，再求值： $2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ ，其中a= $\sqrt{3}$ ，小刚的解法如下： $2 a - \sqrt{a^{2} - 4 a + 4}$ = $2 a - \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ =2a-a+2=a+2，当a= $\sqrt{3}$ 时，原式= $\sqrt{3}$ +2，小刚的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解法。

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19. 若a=3+ $\sqrt{2}$ ，b=3- $\sqrt{2}$ ，求a²b-ab²的值

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四、综合题

20. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$ ．

例2： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ $\dots$

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ；

(2)、观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ；

(3)、利用这一规律计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}}) (\sqrt{2020} + 1)$ ．

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21. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 这样的式子，可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ； $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$ ＝ $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，以上这种化简的方法叫做分母有理化．
请化简下列各题（写出化简过程）：

(1)、 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ；

(2)、 $\frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{7}}$ ；

(3)、 $\frac{1}{5 - \sqrt{3}}$ ；

(4)、 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}$ ＋……＋ $\frac{1}{\sqrt{49} + \sqrt{50}}$ ．

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22. 观察下列等式：
$a_{1} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；

$a_{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ ；

$a_{3} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ ；

$a_{4} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{7}}{2} \dots \dots$

按照上述规律，回答以下问题：

(1)、请写出第6个等式：；

(2)、请写出第n个等式：；

(3)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{20}$ 的值．

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