湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题17 二次根式的乘法与除法

试卷更新日期：2021-12-17 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列变形正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 16) (- 25)} = \sqrt{- 16} \times \sqrt{- 25}$ B、 $\sqrt{16 \frac{1}{4}} = \sqrt{16} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 4 \times \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2}} = \frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{25^{2} - 24^{2}} = 25 - 24 = 1$

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{{(π - 3)}^{2}} = π - 3$ C、 $3 \sqrt{a} \cdot 4 \sqrt{a} = 12 \sqrt{a}$ D、 $\sqrt{15} \div (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + \sqrt{5}$

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3. 下列四个算式，其中一定成立的是（）
① $\sqrt{{(a^{2} + 1)}^{2}}$ ＝a²+1；② $\sqrt{a^{2}}$ ＝a；③ $\sqrt{a b}$ ＝ $\sqrt{a}$ • $\sqrt{b}$ （ab＞0）；④ $\sqrt{(x + 1) (x - 1)} = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$

A、①②③④ B、①②③ C、①③ D、①

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 3) (- 4)} = \sqrt{- 3} \times \sqrt{- 4}$ B、 $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{4^{2}} - \sqrt{3^{2}}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

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5. 使 $\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 3}}$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x > 3$ C、 $x \geq 2$ 且 $x \neq 3$ D、 $x \geq 3$

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6. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 的积是无理数的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{6}$

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7. 下列计算正确的是（）．

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{9} \div \sqrt{3} = 3$ D、 ${(\sqrt{2})}^{2} = 2$

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8. 计算 $\sqrt{45}$ ÷3 $\sqrt{2}$ × $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 的结果正确的是（）

A、1 B、2.5 C、5 D、6

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9. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 ${(x y)}^{2} = x y^{2}$ D、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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10. 化简 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的结果是（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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二、填空题

11. $\sqrt{2 a} - \sqrt{b}$ 的一个有理化因式是．

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12. 写出二次根式 $\sqrt{x + y}$ 的一个有理化因式是．

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13. $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ 的倒数是．

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14. 计算： $\sqrt{x^{3} y} \div \sqrt{\frac{x^{2} y}{5}}$ ＝．

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15. $\sqrt{2} + 1$ 的有理化因式可以是．（只需填一个）

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16. 将 $1 ， \sqrt{2} ， \sqrt{3} ， \sqrt{6}$ 按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是．

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三、计算题

17. 计算：﹣ $\frac{4}{3} \sqrt{18}$ ÷（2 $\sqrt{8} \times \frac{1}{3} \sqrt{54}$ ）

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18. 计算：- $\frac{15}{8} \sqrt{\frac{a b^{2}}{27}}$ ÷ $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{25}{12 a^{3}}}$ ．

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19. 计算： $8 \sqrt{a^{2} b} \div 2 \sqrt{a b} \times \sqrt{\frac{a}{b}}$ ．

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四、解答题

20. 已知 $x = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，求 $\frac{x^{2} - 6 x + 7}{x - 3}$ 的值．

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21. 小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，

$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，

$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$

$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ .

$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 (- 1) + 1 = - 1$ .

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $4 a^{2} - 8 a - 3$ 的值.

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22. 若 $[x]$ 表示不超过x的最大整数（如 $[π] = 3 ， [- 2 \frac{2}{3}] = - 3$ 等），求 $[\frac{1}{2 - \sqrt{1 \times 2}}] + [\frac{1}{3 - \sqrt{2 \times 3}}]$ $+ [\frac{1}{3 - \sqrt{2 \times 3}}] + \dots + [\frac{1}{2014 - \sqrt{2013 \times 2014}}]$ 的值．

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五、综合题

23. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6}) (\sqrt{7} + \sqrt{6})}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ＝ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ．

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小可以先将它们分子有理化如下： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ， $\sqrt{6} - \sqrt{5} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ．

因为 $\sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ，所以， $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ．

再例如，求y＝ $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}$ 的最大值、做法如下：

解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝ $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}$ ＝ $\frac{4}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$ ．当x＝2时，分母 $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}$ 有最小值2.所以y的最大值是2

利用上面的方法，完成下面问题：

(1)、比较 $\sqrt{19}$ ﹣ $\sqrt{18}$ 和 $\sqrt{18}$ ﹣ $\sqrt{17}$ 的大小；

(2)、求y＝ $\sqrt{x + 1}$ ﹣ $\sqrt{x - 1}$ ＋2的最大值．

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24. 若 $x = \frac{1}{\sqrt{6} - 2}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{6} + 2}$ .

(1)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值；

(2)、若 $x$ 的小数部分为 $m$ ， $y$ 的小数部分为 $n$ ，求 $(m + n) (m - n)$ 的值.

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25. 阅读并解答问题：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ；

……

上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：

(1)、将 $\frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ 的分母有理化；

(2)、已知 $a = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}$ ，求 $a + b$ 的值；

(3)、计算 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{98}} + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ .

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