山西省运城市2021-2022学年高二上学期数学11月期中检测试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设平面 $α$ 的法向量为 $\vec{a} = (x ， 1 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{b} = (1 ， x ， x - 3)$ ，若 $α / / β$ ，则 $x$ 的值为（）

A、-5 B、-3 C、1 D、7

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2. 抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， - \frac{1}{8})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{8} ， 0)$

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3. 过点 $P (1 ， 1)$ 且方向向量为 $(- 1 ， 3)$ 的直线方程为（）

A、 $3 x + y + 4 = 0$ B、 $3 x + y - 4 = 0$ C、 $3 x - y + 2 = 0$ D、 $3 x - y - 2 = 0$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 15 = 0$ ，则圆心C到双曲线渐近线的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 如图，在四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 中， $A_{1} E ⊥$ 平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形， $E B / / D C$ ， $D E ⊥ E B$ ， $E B = E D = 1$ ， $D C = 2$ ， $△ A_{1} E D$ 为等腰直角三角形，点F在棱 $A_{1} C$ 上，若点P为DB的中点，且 $P F / /$ 平面 $A_{1} E D$ ，则点F的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4} ， \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 与直线 $x - 4 y - 6 = 0$ 交于A，B两点，点 $M (2 ， - 1)$ 满足 $2 \vec{A M} = \vec{A B}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $\sqrt{30}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的一个焦点为F，双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点，分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是双曲线左支上一点，则 $△ P F F_{2}$ 周长的最小值为（）

A、5 B、 $5 + \sqrt{3}$ C、10 D、14

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8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k (k > 0 ， k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知A，B是平面上的两定点， $| A B | = 2$ ，动点 $M$ 满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \sqrt{2}$ ， $∠ C A B = 120 °$ ，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{11} - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1}$ ： $k x - y + 2 - 3 k = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x + y + 1 = 0$ 的交点在第三象限，则实数k的值可能为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、2

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10. 已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、若点M是椭圆上一动点，则 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}}$ 的最大值为9 C、点P的纵坐标为 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的面积为 $\frac{π}{3}$

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11. 如图，在菱形ABCD中， $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，沿对角线BD将 $△ A B D$ 折起，使点A，C之间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $A Q = Q C$ ， $4 P D = D B$ 时，点D到直线PQ的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ B、线段PQ的最小值为 $\sqrt{2}$ C、平面 $A B D ⊥$ 平面BCD D、当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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12. 已知O为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（）

A、当AB过焦点F时， $△ M C D$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A F} = - 2 \vec{B F}$ ，则直线AB的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ C、若 $∠ A F B = 120 °$ ，且 $| B F | = 2 | A F |$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |} = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、若 $△ A O F$ 外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 $\frac{9}{4} π$

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三、填空题

13. 直线 $y = 2 x - 1$ 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为.

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14. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，则点C到平面 $A B C_{1}$ 的距离为.

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15. 若圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上，有且仅有一个点到 $(- 1 ， 0)$ 的距离为1，则实数 $r$ 的值为.

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A是C的左顶点，点P在过点 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上， $△ P F_{2} A$ 为等腰三角形， $∠ P F_{2} F_{1} = 120 °$ ，则双曲线的离心率为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，顶点A的坐标为 $(2 ， 1)$ ， AB中点D坐标为 $(- 1 ， - 1)$ .

(1)、若AC边所在的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ ，求AC边高线所在的直线方程；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{13}$ ，求点 $C$ 的轨迹方程.

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18. 已知圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，直线 $l$ ： $(4 m - 2) x - (3 m - 3) y - 6 m = 0$ .

(1)、过点 $P (4 ， - 2)$ ，作圆 $C$ 的切线 $l_{1}$ ，求切线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、判断直线 $l$ 与圆 $C$ 是否相交，若相交，求出直线 $l$ 被圆截得的弦长最短时m的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形， $B C = B B_{1} = 2 A B = 2$ ， $∠ C B B_{1} = 120 °$ ，点E为棱 $C C_{1}$ 的中点， $A E = 2$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面AEB与平面 $A_{1} E B_{1}$ 夹角的余弦值.

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20. 已知斜率为 $2$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A B | = 10$ .

(1)、求抛物线方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $C$ 、 $D$ 为抛物线上异于原点 $O$ 的不同的两点，记 $O C$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $O D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，当 $k_{1} k_{2} = - 2$ 时，求证：直线 $C D$ 过定点.

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21. 如图所示，在五面体ABCDE中， $△ A B C$ 为正三角形，四边形ACDE为直角梯形，其中， $A E / / C D$ ， $A E ⊥ A C$ ，平面 $A C D E ⊥$ 平面ABC， $A E = A C = 2 C D = 2$ ，动点F在棱AB上，且 $A F = λ A B$ .

(1)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求证： $D B / /$ 平面EFC；

(2)、是否存在点F，使得EF与平面CBE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{35}$ ?若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

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22. 已知圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (1 ， 0)$ ， Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且 $\vec{Q F} \cdot (\vec{P Q} + \vec{P F}) = 0$ ，设点P的轨迹为曲线E.

(1)、求曲线E的方程；

(2)、过点 $H (0 ， 2)$ 的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当 $\frac{| A B |}{| H N |}$ 取最大值时，求直线AB的方程.

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