山东省枣庄市滕州市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y + 10 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $60 °$ B、 $30 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 在空间直角坐标系中， $\vec{A B} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (4 ， 5 ， 6)$ ，则向量 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(- 3 ， - 3 ， - 3)$ B、 $(3 ， 3 ， 3)$ C、 $(5 ， 7 ， 9)$ D、 $(4 ， 10 ， 18)$

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3. 直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 在y轴上的截距为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、-3 D、 $- \frac{3}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 5)$ ，向量 $\vec{b} = (3 ， λ ， μ)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 两平行直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与 $2 x - 4 y + 3 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{20}$

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6. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， 4 ， z)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则z的值是（）

A、-5 B、5 C、-9 D、9

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7. 已知四面体ABCD， $\vec{D A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{D B}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{D C}$ = $\vec{c}$ ，点M在棱DA上， $\vec{D M}$ = $3 \vec{M A}$ ， N为BC中点，则 $\vec{M N}$ ＝（）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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二、多选题

9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）

A、 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ -2 $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ B、 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ ， $\vec{a}$ +3 $\vec{b}$ ， 2 $\vec{a}$ C、 $\vec{a}$ ， 2 $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ - $\vec{c}$ D、 $\vec{a}$ + $\vec{c}$ ， $\vec{a}$ - $\vec{c}$ ， $\vec{c}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、过 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ B、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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11. 若直线 $x + y + m = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 可作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，且 $∠ A P B = 60 °$ ，则实数 $m$ 的取值可以为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、1 D、 $- 2 \sqrt{2}$

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12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A、AC₁=6 $\sqrt{6}$ B、AC₁⊥DB C、向量 $\vec{B_{1} C}$ 与 $\vec{A A_{1}}$ 的夹角是60° D、BD₁与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 已知直线 $a x + 3 y + 2 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y - 1 = 0$ 垂直，则 $a =$

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14. 直线 $l ： m x - y - 2 m - 1 = 0 (m \in R)$ 恒过定点为.

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15. 已知向量 $\vec{n} = (2 ， 0 ， 1)$ 为平面 $α$ 的法向量，点 $A (- 1 ， 0 ， 1)$ 在 $α$ 内，则点 $P (1 ， 2 ， 2)$ 到平面 $α$ 的距离为．

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16. 已知点 $P (m ， n)$ 在曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 上运动，则 $\frac{n}{m + 4}$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：
（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

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18. 已知圆C的圆心为(1，1)，直线 $x + y - 4 = 0$ 与圆C相切.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.

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19. 如图，在棱长为 $1$ 的正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是线段 $C D$ 的中点． $O$ 在线段 $B E$ 上，且 $\vec{B O} = 2 \vec{O E}$ ．

(1)、证明： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B A D = 45 °$ ，且 $A D = B D = P D = 1$ ．

(1)、求证： $P A ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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21. 已知△ $A B C$ 的顶点 $A (2, 1)$ ， $A B$ 边上的中线所在直线的方程为 $2 x + 3 y - 1 = 0$ ， $∠ B$ 的平分线所在直线的方程为 $x - 2 y + 5 = 0$ .

(1)、求 $B$ 点坐标；

(2)、求 $B C$ 边所在的直线方程.

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22. 已知圆 $C$ 经过坐标原点 $O$ 和点 $G (- 2 ， 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P A$ 、 $P B$ 是圆 $C$ 的两条切线，其中 $A$ ， $B$ 为切点．若点 $P$ 在曲线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ （其中 $x > 4$ ）上运动，记直线 $P A$ ， $P B$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $M$ ， $N$ ，求 $△ P M N$ 面积的最小值．

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