辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 7 = 0$ 的圆心坐标为（）

A、 $(1 ， - 5)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(- 1 ， 5)$ D、 $(2 ， - 10)$

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2. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $P$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} - \vec{A A_{1}}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$

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3. 若直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + a y + 2 a - 1 = 0$ 平行，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、 $\pm 1$

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4. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，下列选项中满足题意的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

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5. 已知直线 $l ： x - m y + m - 1 = 0$ ，则下述正确的是（）

A、直线 $l$ 的斜率可以等于0 B、直线 $l$ 的斜率有可能不存在 C、直线 $l$ 可能过点 $(2 ， 1)$ D、直线 $l$ 的横纵截距不可能相等

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $P$ 为线段 $A C_{1}$ 上一点， $P A = 1$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、4

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7. 已知直线 $l ： x + a y - 1 = 0$ （ $a$ 为实数）是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ 的对称轴，过点 $A (- 4 ， a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $P$ ，则 $| P A | =$ （）

A、2 B、 $4 \sqrt{3}$ C、7 D、 $2 \sqrt{10}$

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8. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 到直线 $x = 2$ 的距离为 $d$ ， $\frac{| P F_{2} |}{d} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹是圆 B、点 $P$ 的轨迹曲线的离心率等于 $\frac{1}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为定值 $4 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知椭圆 $C$ ： $16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$ ，关于椭圆 $C$ 下述正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为 $10$ B、椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $(0 ， - 3)$ 和 $(0 ， 3)$ C、椭圆 $C$ 的离心率等于 $\frac{3}{5}$ D、若过椭圆 $C$ 的焦点且与长轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ ，则 $| P Q | = \frac{32}{5}$

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10. 下列说法不正确的是（）

A、若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30° B、两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 C、二面角的大小范围是[0°，180°] D、二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小

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11. 圆 $Q_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $Q_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为A，B，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、P为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则P到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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12. 某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{d^{2}} = 1 (x < 0)$ 组成，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2} ， a > b > c > 0$ ，设点 $F_{0} ， F_{1} ， F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1} ， A_{2}$ 和 $B_{1} ， B_{2}$ 是轴截面与 $x ， y$ 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线 $x^{2} + y^{2} = 4$ 为边界， $F_{1} ， F_{2}$ 在宝珠珠面上， $△ F_{0} F_{1} F_{2}$ 为等边三角形，则以下命题中正确的是（）

A、椭圆 $C_{1}$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、椭圆 $C_{2}$ 的离心率大于椭圆 $C_{1}$ 的离心率 C、椭圆 $C_{2}$ 的焦点在 $y$ 轴上 D、椭圆 $C_{2}$ 的长短轴之比大于椭圆 $C_{1}$ 的长短轴之比

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三、填空题

13. 已知直线l的一个方向向量 $\vec{d} = (2 ， 3 ， 5)$ ，平面α的一个法向量 $\vec{u} = (- 4 ， m ， n)$ ，若l⊥α，则m+n=.

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14. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x² +y²- 4y= 0所截得的弦长为.

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15. 圆 $P ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 对称的圆 $Q$ 的方程是.

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16. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，当以 $A ， B ， C ， D$ 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， - 4)$ ， $B (6 ， 6)$ ， $C (0 ， 6)$ .

(1)、求线段 $A B$ 中点 $M$ 的坐标；及中线 $C M$ 的直线方程，并把结果化为一般式；

(2)、求 $A B$ 边高线的直线方程，并把结果化为一般式.

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18. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱与底面垂直， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = B B_{1} = 2$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $M B_{1} C$ 和平面 $B_{1} C A_{1}$ 的夹角的余弦值.

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19. 如图所示，已知椭圆 $C$ 的两焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ， $P$ 为椭圆上一点，且 $2 | F_{1} F_{2} | = | P F_{1} |$ + $| P F_{2} |$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P$ 在第二象限， $∠ F_{2} F_{1} P = 120 °$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥ A B$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $P C = 3$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $E B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点E为棱PC的中点.

(1)、证明： $B E ⊥ D C$

(2)、若F为棱PC上一点， $\vec{C F} = λ \vec{C P}$ 且满足 $B F ⊥ A C$ ，求二面角 $F - A B - P$ 的余弦值.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点 $M (0 ， 2)$ 和 $N (1 ， 3)$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = k x$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点 $(- 1 ， 0)$ 作圆C切线，求切线方程；

(3)、当 $k = 1$ 时，Q为直线 $l$ 上的点，若圆C上存在唯一的点P满足 $P O = \sqrt{2} P Q$ ，求点Q的坐标.

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