辽宁省大连市滨城高中联盟2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l_{1} ： \sqrt{3} x + 3 y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： a x - y = 1$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $l_{2}$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. $m = 3$ 是直线 $l_{1} ： (m - 2) x - y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 3 x - m y = 0$ 互相平行的（）条件

A、充分而不必要 B、必要而不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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3. 过点 $(0 ， 2)$ 作与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相切的直线l，则直线l的方程为（）

A、 $3 x - 4 y + 8 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 8 = 0$ C、 $x = 0$ 或 $3 x + 4 y - 8 = 0$ D、 $x = 0$ 或 $3 x - 4 y - 8 = 0$

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4. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M}$ 可表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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5. 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）

A、焦距长约为150公里 B、长轴长约为3988公里 C、两焦点坐标约为 $(\pm 150 ， 0)$ D、离心率约为 $\frac{75}{994}$

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6. $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 是由点 $O$ 出发的三条射线，两两夹角为 $60 °$ ，则 $O C$ 与平面 $O A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 唐代诗人李颀的诗 $《$ 古从军行 $》$ 开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 5$ ，若将军从点 $A (3 ， 1)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 5$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (- x_{1} ， - y_{1})$ 在椭圆 $C$ 上，其中 $x_{1} > 0$ ， $y_{1} > 0$ ，若 $| P Q | = 2 | O F_{2} |$ ， $\frac{| Q F_{1} |}{| P F_{1} |} \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{6} - 1}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{6} - 1}{2}]$ C、 $(0 ， \sqrt{3} - 1]$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \sqrt{3} - 1]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角 B、不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 表示 C、直线 $l_{1} ： 2 x + y - 4 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x + y + 2 = 0$ ，则与直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 距离相等的直线方程为 $2 x + y - 1 = 0$ D、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，圆心为 $C$ ， $P$ 为直线 $2 x + y + 3 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ 和 $P B$ ， $A$ 、 $B$ 为切点，则四边形 $P A C B$ 的面积的最小值为 $1$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $E$ ， $O$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 在正方体内部且满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、直线 $B B_{1}$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $O E$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离为 $\frac{5}{6}$

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11. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $y$ 轴上，且短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过焦点 $F_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线，交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{3} + x^{2} = 1$ B、椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $| P Q | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $Δ P F_{2} Q$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，直线 $l ： y = 2 x - 4$ ．设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $| M A | = 2 | M O |$ ，则圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、填空题

13. 已知直二面角 $α - l - β$ 的棱 $l$ 上有 $A$ ， $B$ 两个点， $A C \subset α$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D \subset β$ ， $B D ⊥ l$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $B D = 5$ ，则 $C D$ 的长是．

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14. 设 $m \in R$ ，直线 $x + m y + 1 = 0$ 过定点 $A$ ，直线 $m x - y - 2 m + 3 = 0$ 过定点 $B$ ，直线 $L$ 经过点 $C (2 ， - 1)$ ，并且以 $\vec{A B}$ 为法向量，则直线 $L$ 的方程为．

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15. 正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则 $\vec{G E} \cdot \vec{G F}$ 的值为．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{m} + \frac{x^{2}}{m - 4} = 1 (m > 4)$ ，点 $A (- 2 ， 2)$ 是椭圆内一点， $B (0 ， - 2)$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P B | = 8$ ，则 $m$ 的范围是；当 $m$ 取得最大值时，设 $Q$ 为椭圆上任意一点， $C (0 ， 2)$ ，则 $| Q B |^{2} + | Q C |^{2}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知 $a = (1 ， 1 ， 0)$ ， $b = (- 1 ， 0 ， 2)$ ．

(1)、若 $| c | = 3$ ，且 $c / / (a - b)$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $k a + b$ 与 $k a - 2 b$ 互相垂直，求实数 $k$ ．

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18. 如图，已知三棱锥 $O - ABC$ 的侧棱 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直，且 $OA = 1$ ， $OB = OC = 2$ ， $E$ 是 $O C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $B E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $B E$ 和平面 $A B C$ 的所成角的正弦值．

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19. 已知圆C经过点 $A (3, - 2)$ 和 $B (1, 0)$ ，且圆心在直线 $x + y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、直线l经过 $(2, 0)$ ，并且被圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都是2， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A C ， C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B A E ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $D B A_{1}$ 和平面 $B A A_{1}$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $B_{1} B$ （含端点）上是否存在点 $M$ ，使点 $M$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ？请说明理由．

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21. 已知圆 $A ： (x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心为 $A$ ，过点 $B (1 ， 0)$ 作直线与圆 $A$ 交于点 $C$ 、 $D$ ，连接 $A C$ 、 $A D$ ，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线交 $A D$ 于点 $E$ ；

(1)、求点 $E$ 的轨迹方程；

(2)、已知点 $H (2 ， 0)$ ，对于 $x$ 轴上的点 $P (t ， 0)$ ，点 $E$ 的轨迹上存在点 $M$ ，使得 $M P ⊥ M H$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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22. 如图，正方形 $A M D E$ 的边长为2， $B$ ， $C$ 分别为 $A M$ ， $M D$ 的中点．在五棱锥 $P - A B C D E$ 中， $F$ 为棱 $P E$ 的中点，平面 $A B F$ 与棱 $P D$ ， $P C$ 分别交于点 $G$ ， $H$ ．

(1)、求证： $G$ 是棱 $P D$ 的中点

(2)、若 $P A ⊥$ 底面 $A B C D E$ ，且二面角 $P - D E - A$ 的大小为 $45 °$ ，求直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成角的大小，并求线段 $P H$ 的长．

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