江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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2. 平行直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2} ： 6 x - 8 y + 9 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $3$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} + a_{6} = 4$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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5. 已知方程 $\frac{x^{2}}{10 - t} + \frac{y^{2}}{t - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则 $t$ 的取值范围（）

A、 $(4 ， 7)$ B、 $(4 ， 7) \cup (7 ， 10)$ C、 $(7 ， 10)$ D、 $(4 ， 10)$

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6. 若 $1 ， m ， 9$ 三个数成等差数列，则圆锥曲线 $x^{2} - m y^{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$

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7. 曲线 $x^{2} + y^{2} = | x | + | y |$ 围成的图形的面积为（）

A、 $π + 2$ B、 $2 π + 2$ C、 $π + 4$ D、 $2 π + 4$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，下列结论正确的有（）个
①过双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为 $\frac{32}{3}$

②方程 $\sqrt{(x + 4)^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x - 4)^{2} + y^{2}} = 6$ 表示的曲线是双曲线

③若动圆 $M$ 过点 $(2 ， 0)$ 且与直线 $x = - 2$ 相切，则圆心 $M$ 的轨迹是抛物线

④若椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则实数 $m = 9$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $x - y - 3 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 $\frac{9}{2}$ B、若三条直线 $x + y = 0 ， x - y = 0 ， x + a y = 3 - a$ 不能构成三角形，则实数 $a$ 的取值集合为 ${- 1 ， 1}$ C、经过点 $(1 ， 2)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ 或 $x - y + 1 = 0$ D、过 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 两点的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (x - x_{1}) (y_{2} - y_{1})$

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10. 长度为 $4$ 的线段 $A B$ 的两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，线段 $A B$ 中点的运动轨迹为曲线 $C$ ，则下列选项正确的是（）

A、点 $(1 ， 1)$ 在曲线 $C$ 内 B、直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ 与曲线 $C$ 没有公共点 C、曲线 $C$ 上任一点关于原点的对称点仍在曲线 $C$ 上 D、曲线 $C$ 上有且仅有两个点到直线 $x + y + \sqrt{2} = 0$ 的距离为 $1$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} = S_{12}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{a_{1}}{d} = 9$ B、 $S_{19} = 0$ C、当 $d > 0$ 时， $a_{6} + a_{15} > 0$ D、 $| a_{6} | < | a_{15} |$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作一条与坐标轴不平行的直线 $l$ ，与 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、若直线 $O B$ 与准线交于点 $C$ ，则 $k_{A C} = 0$ B、对任意的直线 $l$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ C、 $A F + 2 B F$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴公共点个数为偶数

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三、填空题

13. 设直线 $l_{1} : a x + 3 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + (a - 2) y + 4 = 0$ .当 $a =$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．

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14. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： x + y - 4 = 0$ ， $A$ 为直线 $l$ 上一点，若圆 $O$ 上存在两点 $B 、 C$ ，使得 $∠ B A C = 60 °$ ，则点 $A$ 的横坐标的取值范围是.

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过椭圆的上顶点 $A$ 作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点 $P$ ， $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q$ . 若直线 $A P$ ， $A Q$ 与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $m$ ， $n$ . 则它们的积 $m n$ 为.

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16. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，点 $A ， B$ 是它的两个焦点.当静止的小球从点 $A$ 开始出发，沿 $6 0^{∘}$ 角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点 $A$ 时，小球经过的路程为.

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四、解答题

17.

(1)、求以椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；

(2)、已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (2 ， m)$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| A F | = 4$ ，求抛物线 $C$ 的方程.

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18. 如图所示，正方形 $O A B C$ 的顶点 $A (2 ， 3)$ .

(1)、求边 $A B$ 所在直线的方程；

(2)、写出点C的坐标，并写出边 $B C$ 所在直线的方程.

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19. 在① $S_{n} = n a_{n + 1} + n (n + 1) ， n \in N^{*}$ ； ② $S_{n + 1} - a_{n} = S_{n} - 2 ， n \in N^{*}$ ；③ $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = - n (n + 1) ， n \in N^{*}$ . 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 4$ ， ____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值.

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ .

(1)、过点 $P (2 ， 1)$ 向圆 $O$ 引切线，求切线 $l$ 的方程；

(2)、记圆 $O$ 与 $x$ 、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，动点 $Q$ 满足 $Q A = \sqrt{2} Q B$ ，问：动点 $Q$ 的轨迹与圆 $O$ 是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

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21. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ .

(1)、过 $P (- 1 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与双曲线有且只有一个公共点，求直线 $l_{1}$ 的斜率；

(2)、若直线 $l_{2} ： y = k x + m$ 与双曲线相交于 $A ， B$ 两点（ $A ， B$ 均异于左、右顶点），且以线段 $A B$ 为直径的圆过双曲线的左顶点 $C$ ，求证：直线 $l_{2}$ 过定点.

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22. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： x^{2} + 2 y^{2} = t^{2} (t > 0)$ 的左、右焦点.

(1)、求 $E$ 的离心率；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.
①当 $t$ 为常数时. 若 $A F_{2} ， A B ， B F_{2}$ 成等差数列，且公差不为 $0$ ，求直线 $l$ 的方程；

②当 $t = \sqrt{2}$ 时. 延长 $B F_{2}$ 与 $E$ 相交于另一个点 $C$ ，试判断直线 $A C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$ 的位置关系，并说明理由.

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