江苏省常州市六校2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 过点 $C (16 ， 8)$ ， $D (4 ， - 4)$ 的直线的倾斜角为（）

A、60° B、45° C、135° D、30°

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2. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y - 1 = 0$ $l_{2} ： 8 x + a y + 2 - a = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\pm 4$ B、－4 C、4 D、 $\pm 2$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = - 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $\frac{x}{9} \pm \frac{y}{16} = 0$ B、 $\frac{x}{16} \pm \frac{y}{9} = 0$ C、 $\frac{x}{3} \pm \frac{y}{4} = 0$ D、 $\frac{x}{4} \pm \frac{y}{3} = 0$

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4. 已知直线 $l$ ： $x - y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，则实数 $m$ 为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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5. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 $F$ ，过抛物线上一点 $A (3 ， y)$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，若 $Δ A B F$ 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ B、 $y^{2} = x$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = 4 x$

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7. 已知直线 $l_{1} ： k x + y = 0$ $(k \in R)$ 与直线 $l_{2} ： x - k y + 2 k - 2 = 0$ 相交于点A，点B是圆 $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 2$ 上的动点，则 $| A B |$ 的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $5 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ， $P$ 为双曲线左支上一点，点 $A (0 ， \sqrt{2})$ ，则 $Δ A P F$ 周长的最小值为（）

A、 $4 + \sqrt{2}$ B、 $4 (1 + \sqrt{2})$ C、 $2 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ D、 $\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）

A、x﹣y+1＝0 B、x+y＝3 C、2x﹣y＝0 D、x+y+2＝0

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10. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = 2$ B、C的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、C的短轴长为4 D、C的离心率为 $\frac{1}{3}$

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11. 已知圆 $O$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过第一象限内的点 $P (a ， b)$ 作圆 $O$ 的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（）

A、若Р在直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上，则四边形OAPB的面积有最小值2 B、四点O，A，P，B共圆 C、直线AB的方程为 $a x + b y - 1 = 0$ D、若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 8$ ，则 $a + b$ 的最大值为 $3 \sqrt{2}$

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12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F₁(-1，0)和F₂(1，0）的距离的积等于常数 $a^{2} (a > 1)$ 的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）

A、曲线C过坐标原点 B、曲线C关于坐标原点对称 C、曲线C关于坐标轴对称 D、若点在曲线C上，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积不大于 $\frac{1}{2} a^{2}$

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三、填空题

13. 直线 $a x + y - 4 = 0$ 和抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于．

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14. 写出一个同时具有下列性质①②的直线l的方程：.
①直线l经过点 $(1 ， 1)$ ；②直线l与x，y轴所围成的面积为 $\frac{1}{4}$ .

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15. 直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = 1 - \sqrt{1 - y^{2}}$ 有且只有一个公共点，则b的取值范围是.

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16. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上存在 $A$ ， $B$ 两点关于直线 $y = x + m$ 对称，且线段 $A B$ 的中点在抛物线 $y^{2} = x$ 上，则实数 $m$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知两条直线 $l_{1} ： a x + y + a + 1 = 0 ， l_{2} ： 2 x + (a - 1) y + 3$ =0.

(1)、求证：直线 $l_{1}$ 过定点，并求出该定点的坐标；

(2)、若a=0，直线l与 $l_{2}$ 垂直，且 ▲ ，求直线l的方程.
从以下三个条件中选择一个补充在 ▲ 上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件①：直线l过坐标原点；条件②：坐标原点到直线l的距离为1；条件③：直线l与 $l_{1}$ 交点的横坐标为2.

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18. 已知圆C满足：圆心在直线x+y=0上，且过圆x²+y²-2x+10y-24=0与圆x²+y²+2x+2y-8=0的交点A，B.

(1)、求弦AB所在直线的方程；

(2)、求圆C的方程.

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19. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l_{1} ： \sqrt{3} x + y - 2 \sqrt{3} = 0$ 与圆O相交于A，B两点，且A点在第一象限．

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、设 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} \neq \pm 1)$ 是圆O上的一个动点，点P关于原点的对称点为 $P_{1}$ ，点P关于x轴的对称点为 $P_{2}$ ，如果直线 $A P_{1} ， A P_{2}$ 与y轴分别交于 $(0 ， m)$ 和 $(0 ， n)$ ．问 $m \cdot n$ 是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 8$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $(2 ， 0)$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $∠ M Q O = ∠ N Q O$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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21. 2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示， $A$ 、 $B$ 两个信号源相距10米， $O$ 是 $A B$ 的中点，过 $O$ 点的直线 $l$ 与直线 $A B$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ ，机器猫在直线 $l$ 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到 $A$ 点的信号比接收到 $B$ 点的信号晚 $\frac{8}{v_{0}}$ 秒（注：信号每秒传播 $v_{0}$ 米）.在时刻 $t_{0}$ 时，测得机器鼠距离 $O$ 点为 $4$ 米.

(1)、以 $O$ 为原点，直线 $A B$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻 $t_{0}$ 时机器鼠所在位置的坐标；

(2)、游戏设定：机器鼠在距离直线 $l$ 不超过 $1.5$ 米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

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22. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.

(1)、若|FA|=3，求点A的坐标；

(2)、若m=2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；

(3)、若|FA|=|FM|，且直线 $l_{1} / / l$ ， $l_{1}$ 与抛物线有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.

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