河南省信阳市2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $a < b$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a c < b c$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a - c < b - c$

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2. 一个等比数列的前 $n$ 项和为 $S_{n} = (1 - 2 λ) + λ \cdot 2^{n}$ ，则 $λ =$ （）

A、-1 B、1 C、2 D、3

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，则角 $C$ 为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ 或 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} = 2$ ， $a_{4} + a_{6} = \frac{117}{8}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\pm \frac{3}{2}$

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5. 在△ $A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a c c o s B = - \sqrt{2}$ ， △ $A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则角 $B$ 的正切值为（）

A、-2 B、 $\pm 2$ C、-1 D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，公差为 $d > 0$ ，且 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{10} = 9 a_{1} + 40 d$ ，则 $S_{n}$ 取最小值时，n等于（）

A、5 B、6 C、5或6 D、6或7

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7. 实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \leq 3 + 3 x \\ y \leq 3 - \frac{3}{2} x \\ y \geq - 1 + \frac{x}{2} \end{array}$ ，则 $z = | 2 x - y - 3 |$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{6 \sqrt{5}}{5}]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[0 ， \frac{6 \sqrt{5}}{5}]$ D、 $[0 ， 6]$

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8. 假设子女随机从父、母处分别遗传 $\frac{1}{2}$ 的血统．据考证小王的上第 $6$ 代祖父是 $100 %$ 血统的德国人，上第 $3$ 代的祖母是 $100 %$ 血统的德国人，其余各代的母亲都是 $100 %$ 血统的中国人，则小王的爸爸具有的德国血统为（）

A、 $\frac{9}{64}$ B、 $\frac{9}{32}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{32}$

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9. 下列函数中，最小值为2的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 (x > 0)$ B、 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ C、 $y = \frac{9 x^{2} + 1}{3 x} (x > 0)$ D、 $y = \frac{x^{2} + 2}{2} + \frac{2}{x^{2} + 1}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{b}{a} < t a n B$ ，则以下判断正确的为（）

A、 $\frac{π}{2} - B < A < \frac{π}{2}$ B、 $B < A < \frac{π}{2} + B$ C、 $\frac{π}{2} < A < \frac{π}{2} + B$ D、 $\frac{π}{2} - B < A < \frac{π}{2} + B$

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11. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m^{2} x + (m - 1) \geq 0$ 在 $(- 1 ， 1)$ 有解，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ [0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $(0 ， 1)$

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12. 在钝角 $Δ A B C$ 中，已知 $A$ ， $B$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $a = \sqrt{2} + 1$ ， $b = \sqrt{2} - 1$ ，且 $\sqrt{2} s i n A + (2 + \sqrt{2}) s i n B = 1$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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二、填空题

13. 当 $m > \frac{1}{2}$ 时，关于 $x$ 的分式不等式 $\frac{x - m + 1}{x + m} < 0$ 的解区间为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \leq 2 x + 1 \\ y \leq - x \\ y \geq \frac{1}{2} x - 1 \end{array}$ ，若 $z = 2 x + 3 y$ ，则 $z$ 取得最小值时的最优解为.

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15. 在三角形 $A B C$ 中，已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $A = \frac{π}{3}$ ， $b - c = 1$ ， $b^{2} + c^{2} = 13$ ， $D$ 在 $B C$ 上，且 $b S_{△ A B D} = c S_{△ A C D}$ ，则 $B D$ 的长为．

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16. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ ， $b_{n} = a_{4 n - 3} + a_{4 n - 2} + a_{4 n - 1} + a_{4 n}$ ，则 $\frac{b_{n}}{S_{n}}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{4} = 26$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并解不等式： $T_{n} > 10 S_{4}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1}$ ．

(1)、解不等式： $f (x) > 1$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 在三角形 $A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b$ ， $c$ 为方程 $3 x^{2} - 12 x + 10 = 0$ 的两个根， $a = \sqrt{6}$ .

(1)、求三角形 $A B C$ 的面积；

(2)、求 $s i n B + s i n C$ 的值.

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20. 设函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ．

(1)、若不等式 $f (x) \leq m$ 在 $x \in R$ 时恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，当 $m$ 取最小值时，设 $p > 0$ ， $q > 0$ 且 $2 p + 4 q - m = 0$ ，求 $l n p + l n q$ 的最大值．

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21. 如图所示，海平面上有 $3$ 个岛屿 $A$ ， $B$ ， $C$ ，它们位于海平面 $α$ 上．已知 $B$ 在 $A$ 的正东方向， $C$ 在 $A$ 的北偏西 $15 °$ 的方向， $C$ 在 $B$ 的北偏西 $60 °$ 方向上．某一天上午 $8$ 时，甲，乙两人同时从 $A$ 岛屿乘 $2$ 个汽艇出发分别前往 $B$ ， $C$ 两个岛屿执行任务，他们在上午的 $10$ 时分别同时到达 $B$ ， $C$ 岛屿．现在已知甲乙都是匀速前进的，且甲的速度为 $3 \sqrt{2}$ 海里/小时．

(1)、求乙的前进速度；

(2)、为了发展海洋经济，开发当地旅游资源，当地海洋局拟在海平面 $α$ 上使用填海方法来建造一个人工岛礁 $D$ ，把四边形 $A B D C$ 内的区域打造成一个海上的观光带，其中要求岛礁 $D$ 与三个岛屿 $A$ ， $B$ ， $C$ 在海平面 $α$ 的同一个圆周上（如图所示）．试判断这个海上观光带的面积是否可以取得最大值？若可以，请求出此时人工岛礁 $D$ 到 $B C$ 的距离，否则说明理由．
注意： $s i n 75 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ， $c o s 75 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ．

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22. 在数列 ${b_{n}}$ 中，令 $T_{n} = b_{1} b_{2} ⋯ b_{n} (n \in N^{*})$ ，若对任意正整数 $n$ ， $T_{n}$ 总为数列 ${b_{n}}$ 中的项，则称数列 ${b_{n}}$ 是“前 $n$ 项之积封闭数列”．已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列．

(1)、判断：当 $a_{1} = 2$ ， $q = 3$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是否为“前 $n$ 项之积封闭数列”；

(2)、证明：当 $a_{1} = 1$ 或 $a_{1} = q$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是“前 $n$ 项之积封闭数列”．

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