福建省福州四校联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角大小（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知平面 $α ， β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (- 2 ， x ， 1) ， \vec{b} = (x ， 1 ， 4) ，$ 且 $α ⊥ β ，$ 则 $x =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、-4 C、4 D、8

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3. 两条平行线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 与 $a x + 8 y + 11 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{22}{5}$ B、 $\frac{23}{10}$ C、7 D、 $\frac{7}{2}$

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4. 已知直线 $a x + y + 1 = 0$ 与 $(a + 2) x - 3 y + 1 = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 等于（）

A、-3或1 B、1或3 C、-1或-3 D、-1或3

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5. 圆x²+y²-2x-3=0与圆x²+y²-4x+2y+3=0的位置关系是（　　）

A、相离 B、内含 C、相切 D、相交

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6. 直线l过点 $M (- 1 ， 2)$ ，且与以 $P (- 4 ， - 1) ， Q (3 ， 0)$ 为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 2] ∪ [1 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 1]$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [1 ， + \infty)$

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $c ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B F_{2}$ 为钝角三角形，则椭圆 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \sqrt{2} - 1)$ B、 $(0 ， \sqrt{3} - 1)$ C、 $(\sqrt{2} - 1 ， 1)$ D、 $(\sqrt{3} - 1 ， 1)$

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二、多选题

9. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = 2$ B、 $C$ 的长轴长为 $\sqrt{3}$ C、 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ P A B$ 面积的可能取值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、6

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11. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都是 $1$ ，且它们彼此的夹角都是 $60 °$ ， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .则下列正确的是（）

A、 $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{A C_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $c o s < \vec{A B} ， \vec{A C_{1}} >$ $= \frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知圆 $M : {(x + \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 1$ ，直线 $l : y = k x$ ．下列命题中，正确的命题是（）

A、对任意实数k和 $θ$ ，直线l和圆M有公共点 B、对任意实数 $θ$ ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切 C、对任意实数k，必存在实数 $θ$ ，使得直线l与圆M相切 D、存在实数k与 $θ$ ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3

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三、填空题

13. 经过直线 $3 x - 2 y + 1 = 0$ 和直线 $x + 3 y + 4 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $x + 3 y + 4 = 0$ 的直线方程为．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| F_{2} A | + | F_{2} B | = 14$ ，则 $| A B | =$ ．

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15. 已知动圆P过定点 $A (- 3 ， 0)$ ，且在定圆 $B ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 64$ 的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为.

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16. 设P为直线 $3 x - 4 y + 13 = 0$ 上的动点，PA、PB为圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为 .

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四、解答题

17. 已知椭圆 $C ： x^{2} + 2 y^{2} = 2$ ，左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ ，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 交椭圆于A、B两点.

(1)、求椭圆C离心率；

(2)、求 $△ A B F_{2}$ 的面积

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18. 已知圆C的圆心为 $(1 ， 0)$ ，直线 $x + y + 1 = 0$ 与圆C相切.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $(2 ， 2)$ ，被圆C所截得的弦长为2，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求直线 $A A_{1}$ 与平面 $D_{1} A E$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $D_{1} A E$ 的距离.

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20. 已知直线方程为 $(2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，其中 $m \in R$ .

(1)、当 $m$ 变化时，求点 $Q (3 ， 4)$ 到直线的距离的最大值及此时的直线方程；

(2)、若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求 $△ A O B$ 面积的最小值及此时的直线方程.

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21. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = P B = 3$ ， $B C = 1 ， A B = 2 ， A D = 3$ ， O是AB的中点

(1)、求证：CD $⊥$ 平面POC

(2)、求二面角C-PD-O的平面角的余弦值

(3)、在侧棱PC上是否存在点M，使得 $B M / /$ 平面POD，若存在，求出 $\frac{C M}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C的上顶点为A，经过点（-1，-1），且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值

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