福建省福州市八校联考2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦距等于2，则 $m$ 的值为（）

A、6 B、9 C、6或4 D、9或1

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2. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u} = (1 ， - 2 ， 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 4 ， - 6)$ ，则（）

A、 $l / / α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l$ 与 $α$ 相交但不垂直

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3. 已知直线 $l_{1} ： (a - 1) x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 3 x + a y - 1 = 0$ 平行，则 $a$ 等于（）

A、3或 —2 B、—2 C、3 D、2

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4. 方程 $\sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 10$ 化简的结果是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{21} = 1$

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5. 圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 6$ 截直线 $l ： (a + 1) x - y - a + 1 = 0$ 的最短弦长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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6. 唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点 $B (- 2 ， 3)$ ，若将军从点 $A (2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 3$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $\sqrt{31}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{34}$

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7. 已知椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (1 > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M是椭圆上一点，点A是线段 $F_{1} F_{2}$ 上一点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 2 ∠ F_{1} M A = \frac{2 π}{3}$ ， $| M A | = \frac{2}{9}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 x + y + 2 = 0$ ， P为 $l$ 上的动点，过点P作圆 $M$ 的切线PA，PB，切点为A，B，则 $| P M | | A B |$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、3 D、5

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的有（）

A、 $\vec{n_{1}} ， \vec{n_{2}}$ 分别是平面 $α ， β$ 的法向量，若 $α / / β$ ，则 $\vec{n_{1}} / / \vec{n_{2}}$ B、 $\vec{n_{1}} ， \vec{n_{2}}$ 分别是平面 $α ， β$ 的法向量，若 $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ ，则 $α ⊥ β$ C、 $\vec{n_{}}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线l的方向向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ ，则 $l / / α$ D、 $\vec{n_{}}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线l的方向向量，若 $⟨ \vec{a} ， \vec{n} ⟩ = 120 °$ ，则l与平面 $α$ 所成角为 $60 °$

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10. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角 $A - B D - C$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $△ A C D$ 是等边三角形 C、 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为90° D、 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为30°

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11. 下列结论错误的是（）

A、过点 $A (1 ， 3)$ ， $B (- 3 ， 1)$ 的直线的倾斜角为30° B、若直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 与直线 $a x + y + 2 = 0$ 垂直，则 $a = - \frac{2}{3}$ C、直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + 4 y + 1 = 0$ 之间的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、已知 $A (2 ， 3)$ ， $B (- 1 ， 1)$ ，点P在x轴上，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值是5

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12. 已知O为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，焦距为 $2 c$ ，点P在椭圆C上且满足 $| O P | = | O F_{1} | = | O F_{2} | = c$ ，直线 $P F_{2}$ 与椭圆C交于另一个点Q，若 $c o s ∠ F_{1} Q F_{2} = \frac{4}{5}$ ，点M在圆 $G ： x^{2} + y^{2} = \frac{8}{9}$ 上，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ M F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 ${| P_{F} |}^{2} + {| P_{F} |}^{2} = 4$ D、圆G在椭圆C的内部

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三、填空题

13. 已知两个不同平面的法向量分别是 ${\vec{n}}_{1} = (2 ， \frac{1}{2} ， - 1)$ ， ${\vec{n}}_{2} = (- 4 ， - 1 ， 2)$ ，则这两个平面的位置关系是．

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14. 过点 $P (- 1 ， 3)$ ，与直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为．

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15. 设点P是直线 $3 x - 4 y + 7 = 0$ 上的动点，过点P引圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的切线 $P A ， P B$ （切点为 $A ， B$ ），若 $∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆的半径r等于．

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16. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 6)$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，若在圆 $C_{2}$ 上任意一点 $P$ 作圆的切线交椭圆于 $A ， B$ 两点，使得 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ （O为坐标原点），则椭圆 $C_{1}$ 的离心率的值是．

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四、解答题

17. 在①过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且 $\frac{a^{2}}{c} = 2$ ；③长轴长为 $2 \sqrt{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且____.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过右焦点F的直线 $l$ 交椭圆于P，Q两点.当直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求 $△ P O Q$ 的面积.

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，直线 $l ： x + a y + 2 a = 0$ ．

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为正三角形，ABCD为正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD，E、F分别为AC、BP中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面PCD；

(2)、求直线BP与平面PAC所成角的正弦值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D$ ， O为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $B C = C D$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知圆 $C$ 经过点 $(0 ， - \sqrt{3})$ ， $(0 ， \sqrt{3})$ 及 $(3 ， 0)$ .经过坐标原点 $O$ 的斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P (- 3 ， 0)$ ，分别记直线 $P M$ ､直线 $P N$ 的斜率为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点A（2，1）．

(1)、求C的方程：

(2)、点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

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