苏科版初中数学九年级上册1.2.6 一元二次方程的解法—配方法的应用同步训练

试卷更新日期：2021-12-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列各式：① $x^{2} + 2 x + 6 = {(x + 1)}^{2} + 5$ ；② $x^{2} + \frac{1}{2} x + 4 = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4$ ；③ $x^{2} + \sqrt{3} x + 3 = {(x + \sqrt{3})}^{2}$ ；④ $x^{2} - 8 \sqrt{2} x + 36 = {(x - 4 \sqrt{2})}^{2} + 4$ ；⑤ $x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{2} = {(x + \frac{p}{2})}^{2}$ 变形中，正确的有（）

A、①④ B、① C、④ D、②④

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2. 已知方程x²－6x + q = 0可以配方成（x－p）² =7的形式，那么x²－6x +q =2可以配方成下列的（）

A、（x－p）² =9 B、（x－p）² = 5 C、（x－p +2）² =9 D、（x－p + 2）² =5

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3. 已知关于x的多项式 $- x^{2} + m x + 4$ 的最大值为5，则m的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $P = \frac{7}{15} m - 1$ , $Q = m^{2} - \frac{8}{15} m$ ,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）

A、P＞Q B、P=Q C、P＜Q D、不能确定

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5. 若 $△ A B C$ 的三边长a、b、c满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6 a + 8 b + 10 c - 50$ ，那么 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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6. 已知 $△ A B C$ 三边为 $a b c$ ，满足 ${(a - 17)}^{2} + \sqrt{b - 15} + c^{2} - 16 c + 64 = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、以a为斜边的直角三角形 B、以b为斜边的直角三角形以 C、以c为斜边的直角三角形 D、不是直角三角形

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7. 不论 $x ， y$ 为何实数，代数式 $x^{2} + y^{2} + 2 y - 4 x + 6$ 的值（）

A、总不小于 $1$ B、总不大于 $1$ C、总不小于 $6$ D、可为任何实数

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8. 多项式x²﹣6x+4y²+4y+20的最小值是（　　）

A、20 B、17 C、10 D、0

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9. 已知实数m ， n ， c满足m²﹣m+ $\frac{1}{2}$ c＝0，n＝4m²﹣4m+c²﹣ $\frac{1}{4}$ ，则n的取值范围是（）

A、n＞﹣ $\frac{5}{4}$ B、n≥﹣ $\frac{5}{4}$ C、n＞﹣1 D、n≥﹣1

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10. 已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 代数式 $\frac{1}{2} x^{2} + 8 x + 5$ 的最小值是．

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12. 若 $a^{2} + 6 a + b^{2} - 4 b + 13 = 0$ ，则 $a^{b} =$ ．

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13. 已知实数a和b适合a²b²＋a²＋b²＋1＝4ab ，则a＋b＝．

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14. 已知 a+b=-3，a²b+ab²=-30，则 a²-ab+b²+11= ．

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15. 若多项式p=a²+2b²+2a+ 4b+2020，则p的最小值是。

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16. 已知等腰 $Δ A B C$ 的两边长分别为 $a$ 、 $b$ ，且 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 10 b + 29 = 0$ ，则 $Δ A B C$ 的周长为．

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17. 若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $5 = 2^{2} + 1$ ，所以5是一个完美数.已知 $M = x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为.

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18. 课本上把多项式“a²±2ab+b²”叫做完全平方式. 完全平方式具有非负性，因此可以把一个多项式变形成“完全平方式+数字”的形式，以此来求代数式的最小值（或最大值）. 例如：x²+2x+3 = (x²+2x+1)+2 = (x+1)²+2，因为(x+1)²≥0，所以，当 x= -1时，代数式x²+ 2x+ 3有最小值2.那么，对于代数式4x²-4x-3，当 x=时，有最小值为.

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三、解答题

19. 已知代数式 $2 x - 3 x^{2} - 1$ ，先用配方法说明，不论 $x$ 取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当 $x$ 取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？

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20. 若a、b、c是△ABC的三边，且a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状．

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21. 阅读下面的解题过程，求y²+4y+8的最小值.
解：y²+4y+8＝y²+4y+4+4＝（y+2）²+4

∵（y+2）²≥0，即（y+2）²的最小值为0，

∴y²+4y+8的最小值为4.

仿照上面的解答过程，求x²+6x+13的最小值和6﹣a²+2a的最大值.

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22. 发现与探索．
小丽的思考：代数式（a﹣3）²+4无论a取何值（a﹣3）²都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）²+4大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：

(1)、说明：代数式a²﹣12a+20的最小值为﹣16．

(2)、请仿照小丽的思考求代数式﹣a²+10a﹣8的最大值．

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23. 先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．
解∶y²＋4y＋8＝y²＋4y＋4－4＋8＝y²＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，

$∵$ （y＋2）²≥0，

$∴$ （y＋2）²＋4≥4

$∴$ y²＋4y＋8的最小值是4

(1)、求代数式x²＋2x＋4的最小值；

(2)、当m为何值时，代数式m²－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．

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24. 阅读下面的材料：
若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

解： $∵ m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ．

$∴ (m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$ ．

$∴ {(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ．

$∴ {(m - n)}^{2} = 0$ ， ${(n - 4)}^{2} = 0$ ．

$∴ n = 4$ ， $m = 4$ ．

根据你的观察，探究下列问题：

(1)、已知等腰三角形 $△ A B C$ 的两边长 $a$ ， $b$ ，都是正整数，且满足 $a^{2} + b^{2} - 10 a - 12 b + 61 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、已知 $a - b = 6$ ， $a b + c^{2} - 16 c + 73 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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25. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 $a^{2} \geq 0$ 成立，所以当a＝0时，有最小值 $a^{2} = 0$ .
（应用）

(1)、代数式 ${(x - 1)}^{2}$ 有最小值时， $x$ =；

(2)、代数式 $m^{2} + 3$ 的最小值是；

(3)、（探究）求代数式 $n^{2} + 4 n + 9$ 的最小值，小明是这样做的： $n^{2} + 4 n + 9$ ＝ $n^{2} + 4 n + 4 + 5$ ＝ ${(n + 2)}^{2} + 5$ ，∴当 $n = - 2$ 时，代数式 $n^{2} + 4 n + 9$ 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 $a^{2} - 6 a - 3$ 的最小值，并求此时a的值.

(4)、（拓展）
代数式 $m^{2} + n^{2} - 8 m + 2 n + 17 = 0$ ，求m+n的值.

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26. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 $a^{2} \geq 0$ 成立，所以当a＝0时，有最小值 $a^{2} = 0$ .

(1)、（应用）
代数式 ${(x - 1)}^{2}$ 有最小值时，x=；

(2)、代数式 $m^{2} + 3$ 的最小值是；

(3)、（探究）求代数式 $n^{2} + 4 n + 9$ 的最小值，小明是这样做的： $n^{2} + 4 n + 9$ ＝ $n^{2} + 4 n + 4 + 5$ ＝ ${(n + 2)}^{2} + 5$ ，∴当 $n = - 2$ 时，代数式 $n^{2} + 4 n + 9$ 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 $a^{2} - 6 a - 3$ 的最小值，并求此时a的值.

(4)、（拓展）
代数式 $m^{2} + n^{2} - 8 m + 2 n + 17 = 0$ ，求m+n的值.

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27. 我们知道：
$x^{2} - 6 x = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 = {(x - 3)}^{2} - 9$ ；

$- x^{2} + 10 x = - (x^{2} - 10 x + 25) + 25 = - {(x - 5)}^{2} + 25$ ，

这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：

(1)、探究：当a取不同的实数时，求代数式 $a^{2} - 4 a$ 的最小值.

(2)、应用：如图.已知线段 $A B = 6$ ， $M$ 是 $A B$ 上的一个动点，设 $A M = x$ ，以 $A M$ 为一边作正方形 $A M N D$ ，再以 $M B$ 、 $M N$ 为一组邻边作长方形 $M B C N$ .问：当点M在 $A B$ 上运动时，长方形 $M B C N$ 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.

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28. 阅读理解并解答：

(1)、（方法呈现）
我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题.
例如： $x^{2} + 2 x + 3 = (x^{2} + 2 x + 1) + 2 = {(x + 1)}^{2} + 2$ ，

$∵ {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，

$∴ {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2$ .

则这个代数式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值是，这时相应的 $x$ 的值是.

(2)、（尝试应用）
求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的 $x$ 的值.

(3)、（拓展提高）
将一根长 $300 c m$ 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由.

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苏科版初中数学九年级上册1.2.6 一元二次方程的解法—配方法的应用 同步训练

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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