苏科版初中数学九年级上册1.2.5 一元二次方程的解法—因式分解法同步训练

试卷更新日期：2021-12-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 方程x（x-2）=2x的解是（）

A、x=2 B、x=4 C、x₁=0，x₂=2 D、x₁=0，x₂=4

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2. 一元二次方程 $(x + 2) (x - 4) = x - 4$ 的解是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = - 1$ C、 $x = - 1$ ， $x = 4$ D、 $x = - 2$ ， $x = 4$

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3. 方程(x＋1)(x－3)＝5的解是（）

A、x₁＝1，x₂＝3 B、x₁＝4， x₂＝－2 C、x₁＝－1， x₂ ＝3 D、x₁＝－4， x₂＝2

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4. 已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x²﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长是（）

A、11 B、10 C、10或11 D、10或12

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6. 关于x的一元二次方程： $a x^{2} + b x + c = 4$ 的解与方程 $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ 的解相同，则 $a + b + c =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知一元二次方程x²﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）

A、6 B、10 C、12 D、24

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8. 在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 $a * b = a + b^{2}$ ，根据这个规则，方程 $x * (x + 1) = 5$ 的解是（）

A、 $x = 5$ B、 $x = 1$ C、 $x_{1} = - 4 ， x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 4 ， x_{2} = - 1$

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9. 如果二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 能分解成 $(x + 3) (x - 1)$ 的形式，则方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两个根为（）

A、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 1$

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10. 已知 $x = 2$ 关于x的方程 $x^{2} - 3 m x + 5 m - 2 = 0$ 的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰 $Δ A B C$ 的两条边长，则 $Δ A B C$ 的周长为（）．

A、8 B、10 C、8或10 D、6或10

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 的两根是．

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12. 已知x为实数，且满足 ${(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (x^{2} + 3 x) - 3 = 0$ ，那么x²+3x=.

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13. 已知（a²+b²+2）(a²+b²)=8，那么a²+b²的值为.

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14. 如果x²﹣x﹣1=（x+1）⁰ ，那么x的值为．

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15. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 满足 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，若 $| \begin{array}{l} a & 3 a \\ 2 & 2 a \end{array} | = 8$ ，则 $a =$ .

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16. 在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M²﹣MN ，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为　．

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17. 对于实数 $a$ ， $b$ ，定义运算“ $*$ ”： $a * b = {\begin{array}{l} a^{2} - a b (a \geq b) \\ a b - b^{2} (a < b) \end{array}$ .例如 $4 * 2$ ，因为 $4 > 2$ ，所以 $4 * 2 = 4^{2} - 4 \times 2 = 8$ .若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} * x_{2} =$ .

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18. 阅读理解：对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = x (x 一 n) (x + n) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ 理解运用：如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ ，那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ =0 的解．解决问题：求方程 $x^{3} - 10 x + 3 = 0$ 的解为．

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三、解答题

19. 用因式分解法解方程

(1)、x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）

(2)、4x²﹣4x+1＝（x+3）²

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20. 先化简，再求值：（ $\frac{x + 3}{x}$ ﹣ $\frac{x - 1}{x - 3}$ ）÷ $\frac{x^{- 9}}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中x是方程2x²﹣7x+3＝0的解.

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21. 已知一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的正实数根也是一元二次方程 $x^{2} - (k - 2) x + 3 = 0$ 的根，求 $k$ 的值.

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22. 阅读下面的例题.
解方程： $x^{2} - | x | - 1 = 0$ .

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.
（2）当 $x < 0$ 时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ .

请参照上述方法解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$ .

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23. 关于x的一元二次方程

x^{2} + b x + c = 0

经过适当变形，可以写成

(x - m) (x - n) = p

（

m \leq n

）的形式．现列表探究

x^{2} - 4 x - 3 = 0

的变形：

变形	m	n	p
$(x + 1) (x - 5) = - 2$	$- 1$	5	$- 2$
$x (x - 4) = 3$	0	4	3
$(x - 1) (x - t) = 6$	1	t	6
${(x - 2)}^{2} = 7$	2	2	7

回答下列问题：

(1)、表格中t的值为；

(2)、观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为；

(3)、记

x^{2} + b x + c = 0

的两个变形为

(x - m_{1}) (x - n_{1}) = p_{1}

和

(x - m_{2}) (x - n_{2}) = p_{2}

（

p_{1} \neq p {}_{2}

），则

\frac{n_{1} - n_{2}}{m_{1} - m_{2}}

的值为．

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24. 若关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”.

(1)、判断一元二次方程x²﹣6x+8＝0是否是“2倍根方程”，请你说明理由.

(2)、若方程ax²﹣3ax+c＝0（a≠0）是2倍根方程，抛物线y＝ax²﹣3ax+c与直线y＝ax﹣2有且只有一个交点，求该点坐标.

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25. 已如x关于的方程：x²-（2k+1）x+（k- $\frac{1}{2}$ ）=0

(1)、若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根。

(2)、若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、C恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？

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26. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 bx + (a - c) = 0$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ ABC$ 三边的长．

(1)、如果 $x = - 1$ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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27. 对于三个实数a，b，c，用 $M {a, b, c}$ 表示这三个数的平均数，用min ${a, b, c}$ 表示这三个数中最小的数.例如： $M {1, 2, 9} = \frac{1 + 2 + 9}{3} = 4$ ，min ${1, 2, - 3} = - 3$ ，min ${3, 1, 1} = 1$ .
请结合上述材料，解决下列问题：

(1)、 $M {3^{2}, {(- 3)}^{2}, - 3^{2}} =$ ；

(2)、若min ${2 x + 1, 4 x - 3, 7} = 2 x + 1$ ，则整数 $x$ 的值是；

(3)、若 $M {5 x, x^{2}, - 3} =$ min ${x^{2}, - 3}$ ，求 $x$ 的值.

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28. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 $- -$ 转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x²+x-2)=0，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解.

(1)、问题：方程x³+x²-2x=0的解是x₁=0，x₂= ， x₃=；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

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