苏科版初中数学九年级上册1.2.4 一元二次方程的解法—公式法同步训练

试卷更新日期：2021-12-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 用公式法解﹣x²+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）

A、﹣1，3，1 B、1，3，1 C、﹣1，3，﹣1 D、1，﹣3，﹣1

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2. 如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）

A、b²-4ac≥0 B、b²-4ac≤0 C、b²-4ac＞0 D、b²-4ac＜0

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3. 方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的根是（）

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $- 1 + \sqrt{5}$ D、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

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4. 方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $， x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} ，$ $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ D、没有实数根

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5. 一元二次方程x²﹣2x﹣1＝0的根是（）

A、x₁＝1，x₂＝2 B、x₁＝﹣1，x₂＝﹣2 C、x₁＝1+ $\sqrt{2}$ ，x₂＝1﹣ $\sqrt{2}$ D、x₁＝1+ $\sqrt{3}$ ，x₂＝1﹣ $\sqrt{3}$

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6. 若 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \times 3 \times (- 1)}}{2 \times 3}$ 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（）

A、3x²+2x﹣1＝0 B、2x²+4x﹣1＝0 C、﹣x²﹣2x+3＝0 D、3x²﹣2x﹣1＝0

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7. 已知一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的较小根为x₁ ，则下面对x₁的估计正确的是

A、 $- {2<x}_{1} < - 1$ B、 $- {3<x}_{1} < - 2$ C、 ${2<x}_{1} < 3$ D、 $- {1<x}_{1} < 0$

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8. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x²－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（）

A、5 B、3或5 C、13 D、11或13

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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a $<$ 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 $x^{2} + 2 a x - 4 = 0$ 的一个根（）

A、线段AE的长 B、线段BF的长 C、线段BD的长 D、线段DF的长

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10. 将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} ﹣ p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于 $x$ 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x ﹣ q) =$ …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{3} + 1$ 的值为（）

A、 $1 + \sqrt{5}$ B、 $1 - \sqrt{5}$ C、 $3 ﹣ \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 一元二次方程x²-3x-2=0的解是。

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12. 一元二次方程 $x^{2} + 2 \sqrt{2} x - 6 = 0$ 的根是.

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13. 已知 $x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 c}}{2}$ （b²－4c≥0），则 x²＋bx＋c的值为.

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14. 方程x²-2|x+4|-27=0的所有根的和为．

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15. 如果关于x的方程 $x^{2} - 2 (a + 1) x + 2 a + 1 = 0$ 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是.

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16. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $2 a x^{2} - (a + 4) x + 2 = 0$ 有一个正整数解，则正整数 $a$ =.

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17. 关于x的方程x²﹣（3k+1）x+2k²+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为.

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18. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x²-1的解是.

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三、解答题

19. 解下列方程：

(1)、x²+3x﹣10＝0；

(2)、2x²+3x﹣4＝0．

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20. 已知a、b、c均为实数，且 $\sqrt{a - 1} + | b + 1 | + {(c + 3)}^{2} = 0$ ，求方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根。

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21. 已知关于x的方程2x²+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值.

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22. 小明在解方程x²﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）

∴b²﹣4ac＝（﹣5）²﹣4×1×1＝21（第二步）

∴ $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ （第三步）

∴ $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ （第四步）

(1)、小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是．

(2)、写出此题正确的解答过程．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + m + 2 = 0$ .

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.

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24. 关于x的一元二次方程（2m+1）x²+4mx+2m﹣3＝0
（Ⅰ）当m＝ $\frac{1}{2}$ 时，求方程的实数根；
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；

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25. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．

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26. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 $m$ 的值，并求此时方程的根．

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27. 已知 $k$ 为实数，关于 $x$ 的方程为 $x^{2} + k x - 4 k - 16 = 0$ ，

(1)、试判断这个方程根的情况；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使这个方程两个根为连续偶数?若存在，求出 $k$ 及方程的根若不存在，请说明理由.

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28. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0, x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”.

(1)、通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：① $x^{2} - x - 6 = 0$ ；② $2 x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 1 = 0.$

(2)、已知关于x的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$ (m是常数)是“邻根方程”，求m的值.

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苏科版初中数学九年级上册1.2.4 一元二次方程的解法—公式法 同步训练

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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