苏科版初中数学九年级上册1.2.2 一元二次方程的解法—配方法同步训练

试卷更新日期：2021-12-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）．

A、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ 化为 ${(x + 3)}^{2} = 0$ B、 $x^{2} - 5 x - 4 = 0$ 化为 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{41}{4}$ C、 $x^{2} + 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x + 1)}^{2} = 100$ D、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$

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2. 用配方法解方程y²- $\frac{9}{4}$ y-1=0，正确的是（）

A、（y- $\frac{9}{4}$ ）² = $\frac{13}{4}$ ， y= $\frac{9}{4}$ ± $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、（y- $\frac{3}{2}$ ）² = $\frac{13}{4}$ ， y= $\frac{3}{2}$ ± $\frac{\sqrt{13}}{4}$ C、（y- $\frac{3}{2}$ ）² = $\frac{13}{4}$ ，y= $\frac{3}{2}$ ± $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、（y- $\frac{9}{8}$ ）² = $\frac{145}{64}$ ， y= $\frac{9}{8}$ ± $\frac{\sqrt{145}}{8}$

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3. 用配方法解方程x²﹣8x＋3＝0时，原方程应变形为（）

A、（x﹣4）²＝13 B、（x﹣4）²＝3 C、（x＋4）²＝13 D、（x＋4）²＝3

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4. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 25$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 9$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 25$

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5. 若将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 9 = 0$ 化成 ${(x + n)}^{2} = d$ 的形式，则 $n ， d$ 的值分别是（）

A、4，25 B、-4，25 C、-2，5 D、-8，73

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6. 把方程x²﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）²＝n的形式，则m，n的值是（）

A、2，3 B、2，5 C、﹣2，3 D、﹣2，5

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7. 一元二次方程 $x^{2} + 6 x + c = 0$ 通过配方后为 ${(x + b)}^{2} = 16$ ，则b，c的值分别为（　　）

A、 $3$ ， $- 7$ B、 $- 3$ ， $7$ C、 $- 3$ ， $- 7$ D、 $3$ ， $- 2$

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8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A、只有甲 B、甲和乙 C、甲和丙 D、丙和丁

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9. 在解方程 $2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（）．

$2 x^{2} + 4 x = - 1$ ，

$4 x^{2} + 8 x = - 2$ ，

$4 x^{2} + 8 x + 4 = 2$ ，

${(2 x + 2)}^{2} = 2$ ．

①

$2 x^{2} + 4 x = - 1$ ，

$x^{2} + 2 x = - \frac{1}{2}$ ，

$x^{2} + 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + 1$ ，

${(x + 1)}^{2} = \frac{1}{2}$ ．

②

A、两人都正确 B、小贤正确，小淇错误 C、小贤错误，小淇正确 D、两人都错误

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10. 对于两个实数a，b，用 $max (a ， b)$ 表示其中较大的数，则方程 $x \times max (x ， - x) = 2 x + 1$ 的解是（）

A、 $1$ ， $1 + \sqrt{2}$ B、 $1$ ， $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 1$ ， $1 + \sqrt{2}$ D、 $- 1$ ， $1 - \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 一元二次方程y²﹣y $- \frac{3}{4} =$ 0配方后可化为．

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12. 用配方法解方程 $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ ，将方程变为 ${(x - m)}^{2} = \frac{1}{3}$ 的形式，则 $m =$ ．

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13. 如果一元二次方程 $x^{2} + b x + 5 = 0$ 经配方后变为 ${(x - 4)}^{2} = k$ ，则实数k的值为.

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14. 当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - x$ 与 $x - 1$ 的值相等.

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15. 若 $x^{2} + a x - 1 = {(x + 1)}^{2} - b$ ，则a+b= ．

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16. 用配方法解方程 $\frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{5}{2} = 0$ 时，可配方为 $\frac{1}{2} [{(x + 1)}^{2} + k] = 0$ ，其中 $k =$ .

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17. 用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数)，则 $\sqrt{m + n}$ =

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18. 规定： $a \otimes b = (a + b) b$ ，如： $2 \otimes 3 = (2 + 3) \times 3 = 15$ ，若 $2 \otimes x = 3$ ，则 $x$ ＝.

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、x²﹣2x﹣8＝0

(2)、x（x﹣3）＝x﹣3．

(3)、x²﹣3x+2＝0

(4)、x²﹣6x﹣7＝0．

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20. 已知：a是不等式 $5 (a - 2) + 8 < 6 (a - 1) + 7$ 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 $x^{2} + 2 a x + a + 1 = 0$ .

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21. 我们知道：若 $x^{2} = 9$ ，则x=3或x=-3.因此，小南在解方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 时，采用了以下的方法：解：移项得 $x^{2} + 2 x = 8$ 两边都加上1，得 $x^{2} + 2 x + 1 = 8 + 1$ ，所以 ${(x + 1)}^{2} = 9$ ；则 $x + 1 = 3$ 或 $x + 1 = - 3$ 所以 $x = 2$ 或 $x = - 4$ .小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法.请用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$

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22.

(1)、解一元二次方程：x²﹣2x﹣2＝0（配方法）

(2)、3x²+5（2x+1）＝0．

(3)、若关于x的一元二次方程x²＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？

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23. 已知关于x的方程x²﹣2（m -1）x+m²=0

(1)、当m取什么值时，原方程没有实数根；

(2)、若m+5>1-m，对m选取一个合适的非零整数，使原方程有实数根，并求出实数根.

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24. 有n个方程：x²+2x﹣8=0；x²+2×2x﹣8×2²=0；…x²+2nx﹣8n²=0．
小静同学解第一个方程x²+2x﹣8=0的步骤为：“①x²+2x=8；②x²+2x+1=8+1；③（x+1）²=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x₁=4，x₂=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x²+2nx﹣8n²=0．（用含有n的式子表示方程的根）

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25. 根据要求，解答下列问题.

(1)、根据要求，解答下列问题.
①方程x²－2x＋1＝0的解为；

②方程x²－3x＋2＝0的解为；

③方程x²－4x＋3＝0的解为；

…………

(2)、根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x²－9x＋8＝0的解为；

②关于x的方程的解为x₁＝1，x₂＝n.

(3)、请用配方法解方程x²－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性.

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26. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿尔·花拉子米(约780~约850) ，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x²+2x-35=0的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x²+2·x×1+1² ，即x²+2x+ 1，而由原方程x²+2x-35=0变形得x²+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36．所以(x+1)²=36，则x=5．

任务：

(1)、上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（）

A、直接开平方法 B、公式法 C、配方法 D、因式分解法

(2)、所用的数学思想方法是（）

A、分类讨论思想 B、数形结合思想 C、建模思想 D、整体思想

(3)、运用上述方法构造出符合方程x²+6x-7=0的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)．

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27. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程 $x (x + 8) = 4$ ．

解：原方程可变形，得 $[(x + 4) - 4] [(x + 4) + 4] = 4$ ，

${(x + 4)}^{2} - 4^{2} = 4$ ，

${(x + 4)}^{2} = 20$ ，

直接开平方，得 $x_{1} = - 4 + 2 \sqrt{5}$ ， $x_{2} = - 4 - 2 \sqrt{5}$ ．

我们称这种解法为“平均数法”

(1)、下面是小明用“平均数法”解方程 $(x + 2) (x + 8) = 40$ 时写的解题过程：
解：原方程可变形，得 $[(x + a) - b] [(x + a) + b] = 40$ ，

${(x + a)}^{2} - b^{2} = 40$ ，

${(x + a)}^{2} = 40 + b^{2}$ ，

直接开平方，得 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = d$ ．

上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是，，，．

(2)、请用“平均数法”解方程： $(x - 2) (x + 6) = 4$ ．

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28. 阅读材料：
把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法.

如①用配方法分解因式： $a^{2} -4a-12$ .

解：原式= $a^{2} -4a + 4-12-4 = （ a-2 ）^{2} {-4}^{2} = （ a-2 + 4 ）（ a-2-4 ）$

= $（ a + 2 ）（ a-6 ）$

②M= $a^{2} -2ab + {2b}^{2} -2b + 2$ ，利用配方法求M的最小值.

解：M= $a^{2} -2ab + {2b}^{2} -2b + 2 = a^{2} -2ab + b^{2} + b^{2} -2b + 1 + 1$

= $（ a-b ）^{2} + （ b-1 ）^{2} + 1$

$∵ {(a-b)}^{2} \geq 0 ， {(b-1)}^{2} \geq 0$

$∴ 当 a = b = 1 时，$ M有最小值1.

请根据上述材料，解决下列问题：

(1)、在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式： $x^{2} - x +$

(2)、用配方法分解因式： $x^{2} {-6xy-7y}^{2}$

(3)、若M= $\frac{1}{4} x^{2} + x-1$ ，求M的最小值.

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苏科版初中数学九年级上册1.2.2 一元二次方程的解法—配方法 同步训练

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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