四川省资阳市雁江区2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

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2. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： $\sqrt{2}$ ，坝高BC=4m，则AB的长度为（）

A、2 $\sqrt{6}$ m B、4 $\sqrt{2}$ m C、4 $\sqrt{3}$ m D、6m

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3. 一元二次方程x²+3x-4=0的根的情况是（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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4. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (1 ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (3 ， 1)$ ，以原点为位似中心，在原点的同侧画 $△ D E F$ ，使 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 若实数 $x$ 满足方程 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x - 2) - 8 = 0$ ，那么 $x^{2} + 2 x$ 的值为（）

A、-2或4 B、4 C、-2 D、2或-4

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD中点，连接CM，交BD于点N，则 $S_{Δ C N O} ： S_{Δ C N D} =$ （）

A、1：2 B、2：3 C、1：3 D、3：4

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7. 若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为 $x^{2} - 12 x + m = 0$ 的两根，则m的值为（）

A、32 B、36 C、32或36 D、不存在

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8. 为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包(每包10只)，其中合格口罩的只数分别是：9、10、9、10、10，则估计该品牌口罩的合格率约是（）

A、95％ B、96％ C、97％ D、98％

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9. 点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是（）

A、（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ） B、（- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， - $\frac{1}{2}$ ） C、（- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ） D、（- $\frac{1}{2}$ ， - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）

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10. 如图，矩形ABCD中，AD=2， AB=4， AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为E，EG⊥CD，垂足为点G，则以下结论：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE=AF；④ $S_{Δ A C F} = 5 - \sqrt{5}$ ；⑤ $E G^{2} = F G \cdot D G$ ，其中正确的的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 已知b>0，化简 $\sqrt{- a^{3} b^{2}} =$ .

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12. 若 ${(\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + | \tan B - 1 | = 0$ ，则△ABC是三角形.

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + p x + 1 = 0$ 的一个实根的倒数恰是它本身，则 $p$ 的值为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， ∠ A = 30^{°} ， A B = 16$ ，点 $P$ 是斜边 $A B$ 上一点，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ ，垂足为 $P$ ，交边 $A C$ （或边 $C B$ ）于点 $Q$ ，设 $A P = x$ ，当 $Δ A P Q$ 的面积为 $14 \sqrt{3}$ 时， $x$ 的值为 .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝ $\frac{1}{3}$ BD，连接DM、DN、MN.若AB＝4，则DN＝.

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16. 如图，已知直角三角形 $A C B$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，过直角顶点 $C$ 作 $C A_{1} ⊥ A B$ ，垂足为 $A_{1}$ ，再过 $A_{1}$ 作 $A_{1} C_{1} ⊥ B C$ ，垂足为 $C_{1}$ ；过 $C_{1}$ 作 $C_{1} A_{2} ⊥ A B$ ，垂足为 $A_{2}$ ，再过 $A_{2}$ 作 $A_{2} C_{2} ⊥ B C$ ，垂足为 $C_{2}$ ；……，这样一直做下去，得到了一组线段 $C A_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $C_{1} A_{2}$ ，……，则第10条线段 $A_{5} C_{5} =$ .

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三、解答题

17. 用适当的方法解方程：

(1)、 $3 x^{2} - x - 4 = 0$

(2)、 ${(x + 3)}^{2} = {(2 - 2 x)}^{2}$

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18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \div (x - 2 y - \frac{5 y^{2}}{x + 2 y}) + \frac{1}{x}$ ，其中 $x ， y$ 满足方程 ${(\frac{3}{2} x - \sqrt{3} \tan 60^{\circ})}^{2} + {(\sin^{2} 43^{\circ} + \sin^{2} 47^{\circ} - y)}^{2} = 0$ .

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19. 小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至3层的任意一层出电梯.

(1)、请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；

(2)、小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”，该游戏是否公平？并说明理由.

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20. 下图为某区域部分交通线路图，其中直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线 $l$ 与直线 $l_{1} 、 l_{2} 、 l_{3}$ 都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘）， $l_{2}$ 上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ $\sqrt{3}$ 千米， $l_{3}$ 上的点N位于点M的北偏东 $α$ 方向上，且 $\cos α = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，MN= $2 \sqrt{13}$ 千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.

(1)、求 $l_{2} 和 l_{3}$ 之间的距离

(2)、若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）

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21. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + m - 2 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根

(2)、设该方程两个同号的实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，试问是否存在 $m$ 使 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + m (x + x_{2}) = m^{2} + 1$ 成立，若存在，求出 $m$ 的值，若不存在，请说明理由．

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22. 如图，已知△ABC中AD⊥BC于D，BE⊥AC于E．

(1)、求证：△CDE $~$ △CAB．

(2)、若∠C=60°，求S_△_CDE：S_△_CAB的值．

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23. 2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：

(1)、求每天增长的百分率；

(2)、经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天.
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.

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24. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， A C = B C$ ，在斜边 $A B$ 上取一点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E / / B C$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，现将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 旋转一定角度到如图2所示的位置（点 $D$ 在 $△ A B C$ 的内部，使得 $∠ A B D + ∠ A C D = 90^{°}$ ）.

(1)、①求证： $△ A B D ∽ △ A C E$ ； ②若 $C D = 1 ， B D = \sqrt{6}$ ，求 $A D$ 的长.

(2)、如图3，将原题中的条件“ $A C = B C$ ”去掉，其它条件不变，设 $\frac{A C}{A B} = \frac{A B}{A D} = k$ ，若 $C D = 1 ， B D = 2 ， A D = 3$ ，求 $k$ 的值.

(3)、如图4，将原题中的条件“ $∠ A C B = 90^{°}$ ”去掉，其它条件不变，若 $\frac{A C}{A B} = \frac{A E}{A D} = \frac{3}{5}$ ，设 $C D = m ， B D = n ， A D = p$ ，试探究 $m ， n ， p$ 三者之间满足的等量关系.（直接写出结果，不必写出解答过程）

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