广西河池市大化县2021-2022学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中，一元二次方程的个数为（）
（1） $2 x^{2} - 3 = 0$ ；（2） $x^{2} + y^{2} = 5$ ；（3） $x (x + 3) = x^{2} - 1$ ；（4） $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 函数y=x²-2x+3的图象的顶点坐标是（）

A、(1，-4) B、(-1，2) C、(1，2) D、(0，3)

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4. 关于x的一元二次方程x²﹣mx+（m﹣2）=0的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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5. 方程 ${(x - 1)}^{2} = 1 - x$ 的根为（）

A、0 B、 $- 1$ 和0 C、1 D、1和0

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6. 已知函数y＝ $\frac{1}{2}$ x²－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）

A、x＜1 B、x＞1 C、x＞－2 D、－2＜x＜4

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7. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 5$

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8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + c$ 和二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，已知 $D$ ， $E$ 分别是正三角形的边 $B C$ 和 $C A$ 上的点，且 $A E = C D$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于 $P$ ，则 $∠ B P D$ 的度数为（）

A、45° B、50° C、55° D、60°

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10. 王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（）

A、5% B、20% C、15% D、10%

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11. 把抛物线y=﹣2x²+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）

A、y=﹣2（x﹣1）²+6 B、y=﹣2（x﹣1）²﹣6 C、y=﹣2（x+1）²+6 D、y=﹣2（x+1）²﹣6

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12. 如图， $P$ 是正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A P B = 135 °$ ， $B P = 1$ ， $A P = \sqrt{7}$ .则 $P C$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、3

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二、填空题

13. 抛物线 $y = - 4 x^{2} + 8 x - 3$ 的开口方向向.

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14. 若 $x = 1$ 是方程 $x^{2} - m x + 2 m = 0$ 的一个根，则 $m =$ .

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15. 若 $(m - 2) x^{m^{2} - 2} + x - 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的值是．

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16. 已知点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_{1}$ 的坐标是 $(2 ， 3)$ ，那么点 $P$ 关于原点的对称点 $P_{2}$ 的坐标是.

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17. 某文具店出售某种文具盒，若每个获利 $x$ 元，一天可售 $(10 - x)$ 个，则当 $x =$ 元时，一天出售这种文具盒的总利润 $y$ 最大.

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，它与 $x$ 轴的两个交点分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ .对于下列命题：① $b + 2 a = 0$ ；② $a b c < 0$ ；③ $b^{2} - 4 a c > 0$ ；④ $8 a + c > 0$ .其中正确的有.

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三、解答题

19. 解下列一元二次方程：

(1)、 $x (2 x + 3) = 4 x + 6$

(2)、 $- 2 x^{2} + 2 x = - 1$ .

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b$ 过点 $(- 2 ， - 3)$ 和点 $(1 ， 6)$ .

(1)、求这个函数的关系式；

(2)、写出当 $x$ 为何值时，函数 $y$ 随 $x$ 的增大而增大.

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21. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC.

（ 1 ）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A₁B₁C₁ ，（只画出图形）.
（ 2 ）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A₂B₂C₂ ，（只画出图形），写出B₂和C₂的坐标.

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 1) x + m (m + 1) = 0$ .

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若此抛物线 $y = x^{2} - (2 m + 1) x + m (m + 1)$ 与直线 $y = x - 3 m$ 的一个交点在 $y$ 轴上，求 $m$ 的值.

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23. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边.如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽

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24. 阅读例题，解答问题：
例：解方程 $x^{2} - | x | - 2 = 0$ .

解：原方程化为 ${| x |}^{2} - | x | - 2 = 0$ .

令 $y = | x |$ ，原方程化成 $y^{2} - y - 2 = 0$

解得 $y_{1} = 2$ ， $y_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.

$∴ | x | = 2$ . $∴ x = \pm 2$ .

∴原方程的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$

请模仿上面的方法解方程： ${(x - 1)}^{2} - 5 | x - 1 | - 6 = 0$ .

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25. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，请问将售价定每件为多少元时，才能在半月内获得最大利润？并求出最大利润.

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $A$ 的直线与抛物线交于点 $C$ ，其中 $A$ 点的坐标是 $(1 ， 0)$ ， $C$ 点坐标是 $(4 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 $D$ ，使 $△ B C D$ 的周长最小？若存在，求出点 $D$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、若点 $E$ 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 $A C$ 的下方，试求 $△ A C E$ 取得最大面积时点 $E$ 的坐标.

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