高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质

试卷更新日期：2021-12-16 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列四组函数，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = x$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ D、 $f (x) = | x + 1 |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \geq - 1 \\ - x - 1 ， x < - 1 \end{array}$

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2. 若函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 为奇函数，则实数 $a =$ （）.

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{1 - | x |}$ 的定义域为（）

A、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ B、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ C、 $[- \sqrt{2} ， 0) \cup (0 ， \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2} ， - 1) \cup (- 1 ， 1) \cup (1 ， \sqrt{2}]$

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4. 若 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 内是增函数，又 $f (3) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $x > 3}$ B、 ${x | x < - 3$ 或 $0 < x < 3}$ C、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $0 < x < 3}$

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5. 如图是幂函数 $y = x^{α}$ 的部分图象，已知α取 $\frac{1}{2}$ ，2， $- 2$ ， $- \frac{1}{2}$ 这四个值，则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 相应的α依次为（）

A、2， $\frac{1}{2}$ ，- $\frac{1}{2}$ ，-2 B、-2，- $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，2 C、- $\frac{1}{2}$ ，2，-2， $\frac{1}{2}$ D、2， $\frac{1}{2}$ ，-2，- $\frac{1}{2}$

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6. 设函数f(x)= ${\begin{cases} x^{2} - 6 x + 6 ， x \geq 0 \\ 3 x + 4 ， x < 0 \end{cases}$ 若互不相等的实数x₁ ， x₂ ， x₃ ，满足f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（）．

A、( $\frac{11}{3}$ ，6] B、( $\frac{20}{3}$ ， $\frac{26}{3}$ ) C、( $\frac{20}{3}$ ， $\frac{26}{3}$ ] D、( $\frac{11}{3}$ ，6)

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7. 已知 $f (x)$ 是非零实数集上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数，若 $f (- 1) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 3) > f (4)$ B、 $\forall x \in R ， x \neq 0 ， \exists M \in R$ ，使 $f (x) \geq M$ C、若 $x f (x) < 0$ ，则 $x \in (- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty ， 3)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + (\frac{3}{2} m - 1) x + 8 ， x < 2 \\ - \frac{m + 1}{x} ， x \geq 2 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < - 1$ B、 $m \geq - 2$ C、 $- 3 \leq m \leq - 2$ D、 $- 2 < m < - 1$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的为（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

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10. 下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ B、函数 $y = 2 x + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty ， \frac{17}{8}]$ C、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$ 在 $[- 2 ， 0]$ 的值域为 $[4 ， 12]$ D、函数 $y = \frac{x}{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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11. 已知函数 $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x} (\frac{1}{3} \leq x < 2)$ ，则该函数（）

A、最小值为3 B、最大值为 $\frac{7}{2}$ C、没有最小值 D、在区间 $(1 ， 2)$ 上是增函数

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12. 定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x - 1} ， x \geq 2 \\ x^{2} - 2 x + 2 ， 0 < x < 2 \end{array}$ ，下列结论正确的有（）

A、对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (- 1 ， 1)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [2 ， + \infty)$ ，恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ C、函数 $y = x$ 与 $f (x)$ 的图象共有4个交点 D、若 $x \in [a ， 0)$ 时， $f (x)$ 的最大值为-1，则 $a \in [- 3 ， - 1]$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x}$ 的定义域是．

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(2 ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (x) =$ .

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15. 设函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} 1 - 2 x ， x \leq 0 \\ x^{2} + x - 2 ， x > 0 \end{array}$ ，则 f (f（1）)＝．

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16. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ ，则f（－4）＝．

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四、解答题

17. 已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 6 m + 5) x^{m + 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $y = f (x) - 2 (a - 1) x + 1$ 在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围.

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18. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0，10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k·(6- $\frac{12}{x + 4}$ )(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5，1])，A公司生产t万件防护服还需投人成本(20+8x+50t)(万元)

(1)、将A公司生产的防护服的利润y万元)表示为补贴x(万元)的函数；

(2)、对任意的x∈[0，10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？ (精确
到0.01)

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19. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (- x) = 3^{x + 1} + 3^{1 - x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (2 x) - m f (x) + 6 \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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20. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求b的值；

(2)、判断f（x）在定义域R上单调性并证明

(3)、若对于任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x^{2} - 2 x) + f (2 x^{2} - k) < 0$ 恒成立，求k的范围．

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21. 若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式 $m ⩽ f (x) ⩽ n$ 的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{1}{x} ， x \in (0 ， + \infty)$ 是否为P函数，并说明理由；

(2)、是否存在实数a使得函数 $f (x) = x^{2} - a x + a - 1$ 为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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22. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的二次函数，对称轴 $x = - \frac{1}{2}$ ，且 $f (1) = 3$ ， $f (0) = 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = k x^{2} + 2 k x + 1 (k \neq 0)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ， $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第三章 函数概念与性质

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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