高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用

试卷更新日期：2021-12-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知曲线 $y = x + \frac{\ln x}{k}$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与直线 $x + 2 y = 0$ 垂直，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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2. 曲线 $y = \ln x + 1$ 在 $(1 ， 1)$ 处的切线也为 $y = e^{x} + a$ 的切线，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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3. 函数 $y = f (x)$ 在定义城 $[- \frac{3}{2} ， 3]$ 内可导，其函数图象如图所示.记 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，则不等式 $f^{'} (x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， 1] \cup [2 ， 3]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{2}] \cup (\frac{4}{3} ， \frac{8}{3}]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [1 ， 2]$ D、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{2} ， \frac{4}{3}] \cup (\frac{4}{3} ， 3]$

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4. 已知 $a ， b \in R$ ，若 $x = b$ 是函数 $f (x) = a (x - a) {(x - b)}^{2}$ 的极小值点，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a b < a^{2}$ D、 $a b > a^{2}$

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5. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - e^{x} + (a + 1) x$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - x^{2} + b x$ ( $a > 0$ 且 $a \neq \frac{1}{2}$ ， $b > 0$ )的一个极值点为2，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、7

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7. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x) > \frac{1}{2}$ ，则不等式 $f (| x |) < \frac{| x |}{2} + \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$

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8. 设函数 $y = f (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使得当 $x > x_{0}$ ，恒有 $| f (x) - x | < \frac{1}{100}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有性质P．下列具有性质P的函数是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ C、 $y = 2 x + \frac{1}{x}$ D、 $y = 2^{x}$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a$ 的图象在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处与x轴相切，则实数a的值可能为（）

A、1 B、4 C、0 D、2

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10. 已知 $a = \log_{2} 3$ ，函数 $f (x) = e^{x} + \ln x - 4$ 的零点为b， $g (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ 的极小值点为c，则（）

A、 $a > b$ B、 $c > b$ C、 $b > a$ D、 $b > c$

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11. 设函数 $f (x) = - x^{3}$ ， $g (x) = a x + b$ ，其中 $a$ ， $b$ 均为实数，下列条件中，使得函数 $f (x)$ 的图像与 $g (x)$ 的图像有且只有一个交点的是（）

A、 $a = - 3$ ， $b < - 1$ B、 $a = - 3$ ， $b = 2$ C、 $a = - 3$ ， $b > 2$ D、 $a = 1$ ， $b = - 2$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，下列结论成立的是（）

A、函数 $f (x)$ 在定义域内无极值 B、函数 $f (x)$ 在点 $A (2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = \frac{5}{2} x + \ln 2 - 8$ C、函数 $f (x)$ 在定义域内有且仅有一个零点 D、函数 $f (x)$ 在定义域内有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$

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三、填空题

13. 已知曲线 $y = m e^{x} + x \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 3 x + n$ ，则 $n =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，若关于x的方程 $f (x) = m$ 有三个不同的实数根，则实数m的取值范围为.

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15. 若存在 $x \in [0 ， 1]$ ，使得 $3^{x} + \frac{1}{3^{x}} \geq 7 m + 1$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - (a + 3) x \cdot e^{x} + 3 a x^{2}$ 有4个零点，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 在 $x = 2$ 处的切线与直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 平行.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + m = 2 x - x^{2}$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上恰有两个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} \ln x ， a \in R$ ．

(1)、若 $a = 3 \sqrt{e}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，且函数 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $y = (e - 2) x + b$ ．

(1)、求a，b的值并分析函数 $f (x)$ 单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m ， x \in [- 1 ， 1]$ 恰有两个零点，求实数m的取值范围．

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20. 设函数 $f (x) = e^{x} (a x^{2} + 1)$ ， $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{4})$ 单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 有极小值，求证： $f (x)$ 的极小值小于1．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ， $a \geq 0$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求证：函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上有且仅有一个零点.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - k x - 1$ ， $x \geq 0$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + \frac{e^{x}}{x + 1} \geq 0$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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