安徽省六安市2021-2022学年高三上学期理数第三次月考试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：月考试卷

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一、选择题：（每小题5分，共60分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 = 0}$ ， $B = {x | a x + 1 = 0}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值组成的集合是（）

A、 ${- 1}$ B、 ${\frac{1}{2}}$ C、 ${- 1 ， \frac{1}{2}}$ D、 ${- 1 ， 0 ， \frac{1}{2}}$

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2. 若 $1 + \sqrt{2} i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个复数根，则（）

A、 $b = 2 ， c = 3$ B、 $b = 2 ， c = - 1$ C、 $b = - 2 ， c = - 1$ D、 $b = - 2 ， c = 3$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 7 ， a_{4} = 3$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则使 $S_{n}$ >0时，自然数n的最大值为（）

A、5 B、8 C、9 D、10

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4. 已知 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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5. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos B - b \cos A = \frac{3}{5} c$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递增，在 $(\frac{2 π}{3} ， π)$ 上单调递减，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、2π B、4π C、6π D、8π

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7. 在平面直角坐标系xOy中，已知角 $α$ 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 $P (- \frac{1}{3} ， \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ ，将角 $α$ 的终边逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 所得角为角β ，则 $\frac{\sin 2 β}{\cos 2 β - 1}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $\sin A > \sin B$ ”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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9. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + a \cos x$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $(- \infty ， - \sqrt{2}]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $B C$ 边上的中线 $A D$ 的长度为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，则 $A C =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 已知 $f (x) = {\begin{cases} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ 3 x - x^{3} ， x < 0 \end{cases}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} + x) \cos (\frac{3 π}{2} - x) \tan (π + x)}{\sin (- 2 π + x)} + \frac{1}{\sin x} + 1$ ，函数 $y = g (x) - 1$ ，为奇函数，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 图象共有6个交点为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{6} ， y_{6})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、0 B、6 C、12 D、24

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二、填空题：（每小题5分，共20分）

13. 菱形 $A B C D$ ，对角线 $A C = 4$ ，则 $\vec{A B} • \vec{A C} =$

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14. 等边 $Δ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{A D}$ ，则 $\vec{M C} • \vec{M B} =$

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15. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ 则 $f^{'} (- 1) =$

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16. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ ，且 $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为.

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三、解答题：（17题10分；18至22题，每题12分.共70分.）

17. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $a (\sqrt{3} \cos C + \sin C) = \sqrt{3} b$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $2 b - c$ 的取值范围.

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18. 已知首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} + 3 S_{n} = 3 S_{n + 1} + a_{n} a_{n + 1} + 1$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} + 1}}$ 为等差数列；

(2)、记数列 ${(a_{3 n - 2} + 1) (a_{3 n + 1} + 1)}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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19.

(1)、已知 $\cos α = \frac{1}{7}$ ， $\sin (α + β) = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，求角 $β$ 的值.

(2)、在 $Δ ABC$ 中，角 $A ， B ， C$ 均不为直角，求证： $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A • \tan B • \tan C$

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + 1$ ， $g (x) = \sin 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $m f (x)$ ≤ $g (x)$ 对任意的 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \sin x + k \cos x + 4 x (k \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $k$ 的取值范围：

(2)、设 $g (x) = f (x) + (x - 1) \sin x - 3 x$ ，当 $k > 2$ 时，若方程 $g (x) = 3$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有唯一解，求 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点的个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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