湖南省株洲市八校联盟2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 与2021°终边相同的角是（）

A、-111° B、-70° C、141° D、221°

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}, B = {- 4, 1, 3, 5} ，$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 4, 1}$ B、 ${1, 5}$ C、 ${3, 5}$ D、 ${1, 3}$

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3. 命题：“ $\exists x_{0} \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $\sin x_{0} < \cos x_{0}$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin (0 ， \frac{π}{4})$ ， $\sin x \geq \cos x$ B、 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $\sin x < \cos x$ C、 $\exists x_{0} \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $\sin x_{0} \geq \cos x_{0}$ D、 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $\sin x \geq \cos x$

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4. 若 $0 < x < y < 1$ ，则下面大小关系正确的是（）

A、 $3^{x} > 3^{y}$ B、 $\sin x < \sin y$ C、 $\log_{0.5} x < \log_{0.5} y$ D、 $x^{- 1} < y^{- 1}$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{a}$ 满足 $f (2) = 4$ ，则函数 $g (x) = | \log_{a} (x + 1) |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $a > 0 ， b > 0 ， a + 4 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、7 B、9 C、 $\frac{\sqrt{2} + 3}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 3$

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7. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $\frac{1 - \cos 2 α}{\sin 2 α}$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{29}{15}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{32}{15}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin π x ， 0 \leq x \leq 1 \\ \log_{2020} x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $a ， b ， c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2020)$ B、 $(1 ， 2021)$ C、 $(2 ， 2021)$ D、 $[2 ， 2021]$

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9. 已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} + a x - a - 1)$ ，给出下述论述，其中正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 一定有最小值 C、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的定义域为 $R$ D、若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 ${a | a \geq - 4}$

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二、多选题

10. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $y = \lg 10^{x}$ ， $y = 10^{\lg x}$ B、 $y = x^{2}$ ， $y = {(\sqrt{x})}^{4}$ C、 $y = \frac{x (x - 2)}{x^{2}}$ ， $y = 1 - \frac{2}{x}$ D、 $y = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ， $y = \cos 2 x - \sin 2 x$

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11. 给出下列各命题，其中正确的是（）

A、存在实数 $α$ ，使 $\sin α + \cos α = 1$ B、要得到 $y = 3 \sin (x - \frac{π}{5})$ 的图像，只需把 $y = 3 \sin (x + \frac{π}{5})$ 向右平移 $\frac{2 π}{5}$ 个单位 C、 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $y = \sin (2 x + \frac{5 π}{4})$ 图像的一条对称轴 D、函数 $y = \log_{a} (x + 3) - 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $(- 2 ， - 1)$

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12. 已知 $a \in Z$ ，关于x的一元二次不等式 $x^{2} - 6 x + a \leq 0$ 的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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三、填空题

13. 已知 $\tan x = 3$ ，则 $\frac{\sin x - 2 \cos x}{3 \sin x + \cos x} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 2 \\ f (x - 3) ， x \geq 2 \end{array}$ 则 $f (2021) =$ .

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15. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{- 2 m - 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m =$ ．

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16. 若函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + a x^{2}} + 2 x)$ 是定义在实数集上的奇函数；则实数 $a =$ ；满足关于 $x$ 的不等式 $f (2 m - m \sin x) + f (\cos^{2} x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2 - a \leq x \leq 2 + a}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，且“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18.

(1)、化简求值： ${(0.064)}^{- \frac{1}{3}} - {(π - 1)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} + e^{\ln 2} + \log_{2} (4 \sqrt{2})$

(2)、已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ， $α$ ， $β$ 为锐角，求 $\frac{\cos 2 α}{\cos β}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{2})$ ，求：

(1)、 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、 $f (x)$ 的单调减区间；

(3)、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上值域？

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20. 湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产 $x$ 台，需要另投入成本 $h (x)$ （万元），当年产量小于60台时， $h (x) = x^{2} + 20 x$ （万元）；当年产量不少于60台时 $h (x) = 102 x + \frac{9800}{x} - 2080$ （万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式？

(2)、年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 解析式；

(2)、若关于 $x$ 的函数 $g (x) = f (x) - 2 (2 k + \sqrt{3} \sin 2 x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 有唯一零点，求 $k$ 的取值范围？

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22. 设函数 $f_{k} (x) = 2^{x} + (k - 1) \cdot 2^{- x} (x \in R, k \in Z)$ ．

(1)、若 $f_{k} (x)$ 是偶函数，求 $k$ 的值；

(2)、若存在 $x \in [1, 2]$ ，使得 $f_{0} (x) + m f_{1} (x) \leq 4$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = λ f_{0} (x) - f_{2} (2 x) + 4$ ，若 $g (x)$ 在 $x \in [1, + \infty)$ 有零点，求实数 $λ$ 的取值范围．

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