湖南省岳阳市华容县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ， $A = {2 ， 4 ， 8}$ ， $B = {1 ， 3 ， 4 ， 7}$ ，那么 $(C_{U} A) \cup B =$ （）

A、{4} B、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ C、 ${1 ， 3 ， 7}$ D、 ${2 ， 8}$

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2. 命题“ $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ B、 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ C、 $\exists x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ D、 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$

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3. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1 x \leq 1 \\ l g x x > 1 \end{matrix}$ ，则f(f(10)=（）

A、lg101 B、2 C、1 D、0

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4. 若 $a \in R$ ，则“ $a^{2} = 1$ ”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、既不是充分条件也不是必要条件 D、充要条件

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{2^{x} + 1} + a x + 1 (a \in R)$ ，则 $f (2021) + f (- 2021) =$ （）

A、 $- 2 a + 2021$ B、 $2 a$ C、4 D、4042

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6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) \ln | \frac{1}{x} |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a = 7^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = 2^{0.8}$ ， $c = \log_{2} 4.1$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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8. 下列四个结论中，正确结论的个数为（）个
（1）函数 $f (x) = x$ 与函数 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 相等；（2）若函数 $f (x) = a^{x} - a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象没有经过第二象限，则 $a > 1$ ；（3）关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x + 4 \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 $- 4 \leq m \leq 4$ ；（4）若函数 $f (x) = 1 + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m = 2$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 已知 $x ， y \in R$ ，且 $x > y > 0$ ，则下列说法错误的是（）．

A、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0$ B、 $\sin x - \sin y > 0$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{x} - {(\frac{1}{2})}^{y} < 0$ D、 $\ln x + \ln y > 0$

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10. 下列说法中正确的有（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、存在a，使得不等式 $a + \frac{1}{a} \leq 2$ 成立 C、若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、若正实数x，y满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 8$

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11. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0) ， k \in Z$ C、该函数的单调递增区间是 $[3 k π - \frac{5 π}{4} ， 3 k π + \frac{π}{4}] ， k \in Z$ D、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{3}{2}$ ，纵坐标不变，可得到该函数图象

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12. 设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，也叫取整函数.令 $f (x) = x - [x]$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (- 1.1) = 0.9$ B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x + 1) = f (x) + 1$ D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1)$

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三、填空题

13. 若 $f (x + 1) = x^{2} + 2$ ，则 $f (x) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \ln x - m$ 的零点位于区间 $(1, e)$ 内，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 函数 $y = \log_{a} (x + 3) - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在直线 $m x + n y + 2 = 0$ 上，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，且 $f (1) = 0$ ，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的x的取值范围是.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $\log_{3} \sqrt{27} + \lg 25 + 2 \lg 2 - 7^{\log_{7} 2}$ ；

(2)、已知 $\sin (3 π + α) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} + α)$ ，求 $\frac{\sin α - 4 \cos α}{5 \sin α + 2 \cos α}$ ．

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18. 已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq a}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ .若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，
(ⅰ)求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(ⅱ)求函数 $f (x)$ 的最大值､最小值，并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量 $x$ 的值.

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20. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时有 $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上的单调性并用定义证明.

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21. 药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量 $v ($ 单位：千克 $)$ 是每平方米种植株数x的函数．当x不超过4时，v的值为2；当 $4 < x \leq 20$ 时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0．

(1)、当 $0 < x \leq 20$ 时，求函数v关于x的函数表达式；

(2)、当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值．（年生长总量=年平均生长量×种植株数）

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22. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.

(1)、对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ，那么 $\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M (n \in R)$ ；

(2)、请你运用上述对数运算性质计算 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$ 的值；

(3)、因为 $2^{10} = 1024 \in (10^{3} ， 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识，判断 $2019^{2020}$ 的位数.(注 $\lg 2019 \approx 3.305$ )

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