湖南省邵阳市邵阳县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x \geq 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | x > 1}$ D、 ${x | x < 2}$

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2. 命题： $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - \sin x \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - \sin x > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - \sin x > 0$

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3. 下列各组角中，终边相同的是（）

A、43°和313° B、37°和787° C、65°和-655° D、124°和-576°

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4. 一元二次不等式 $2 x^{2} - x - 1 < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$

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5. 函数 $f (x) = x^{2} - \ln | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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7. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， - 1)$ ，则 $2 \sin α + \cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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8. 已知 $p$ ： $x^{2} - 2 a x + a^{2} < 4$ ， $q$ ： $\log_{2} (x + 1) < 3$ ．若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 5)$ B、 $[1 ， 5]$ C、 $(- \infty ， 1] \cup [5 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (5 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 11) x^{m + 7}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则（）

A、 $m = 3$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $m = - 4$ D、 $f (- 1) = - 1$

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10. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式不正确的有（）

A、 $a - \frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ B、 $a b^{2} > b^{3}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ D、 $\lg (a - b) > 0$

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11. 已知 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ 且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\cos β = \frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$ D、 $\cos β = \frac{4 \sqrt{2} - \sqrt{5}}{9}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 2 ， x \geq 0 \\ {(\frac{1}{3})}^{x + 1} ， x < 0 \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有3个零点，则 $m$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $a > 1$ ，则 $a + \frac{2}{a - 1}$ 的最小值为，此时 $a =$ ．

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14. $\frac{1}{\log_{4} 8} + \log_{16} 4 =$ ．

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15. 已知 $\sin (π - α) = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (π + α) =$ .

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16. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[2 ， 4]$ ，则函数 $y = f (\sqrt{x + 1})$ 的定义域是．

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四、解答题

17. 在① $B = {x ∣ - 1 < x < 4}$ ，② $∁_{R} B = {x ∣ x > 6}$ ，③ $B = {x ∣ x \geq 7}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.问题：已知集合 $A = {x ∣ a < x < 10 - a}$ ，_______，若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知 $α$ 为锐角， $\cos (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α - \cos 2 α + \cos^{2} α$ 的值．

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19.

(1)、用定义法证明函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、已知 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ ，求 $g (x)$ 的解析式．

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20. 已知函数 $f (x) = M \sin (ω x + φ) + N$ ，（ $M > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及图象对称中心的坐标；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $f (\frac{A}{2} + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ， $B - A = \frac{π}{4}$ ，求 $\sin C$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = (\log_{2} x - 2) (2 \log_{2} x + 1)$ ．

(1)、当 $x \in [1 ， 8]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f (x) < m \log_{2} x$ 对 $x \in [2 ， 4]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 ω x + \frac{π}{6})$ （ $0 < ω < 2$ ），且 $f (\frac{π}{6}) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象上所有的点先向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5}{6} π]$ 上的值域．

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