湖南省衡阳市衡阳县2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3} ， B = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | 3 \leq x < 4}$ C、 ${x | x < 1 或 x \geq 4}$ D、 ${x | 1 \leq x < 4}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $a^{2} = 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，有下面四个不等式：① $a^{2} > b^{2}$ ，② $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ ，③ $a + b < a b$ ，④ $a^{3} < b^{3}$ .则不正确的不等式的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 已知 $\cos (\frac{π}{2} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (α + π) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 函数 $f (x) = x - \frac{| x |}{x}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数，则以下关系正确的是（）

A、 $f (π) < f (1) < f (- 3)$ B、 $f (1) < f (- 3) < f (π)$ C、 $f (1) < f (π) < f (- 3)$ D、 $f (- 3) < f (1) < f (π)$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列选项中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、将函数 $y = \sqrt{3} \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的函数 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、将函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的函数

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9. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $x - y < \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x^{\frac{1}{2}} > y^{\frac{1}{2}}$ C、 $\frac{x}{y} > 1$ D、 $x^{3} < y^{3}$

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10. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，则x₁＋x₂＋x₃＋x₄等于（）

A、－6 B、6 C、－8 D、8

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x$ ，则 $f (2) =$ .

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12. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, \sqrt{3})$ ,则 $\cos α$ 的值为

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13. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\cos (π + α) \cdot \cos (\frac{π}{2} + α) =$ ．

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14. 若实数 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{8}{a b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1$ ，则 $a b$ 的最大值为.

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - a ，_{}_{} x < 1 \\ 4 (x - a) (x - 2 a) ，_{} x \geq 1 \end{array}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的范围是

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16. 化简

(1)、 ${(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{3}} \times {(- \frac{7}{6})}^{0} + 8^{\frac{1}{4}} \times \sqrt[4]{2} - \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{\frac{2}{3}}} =$ ．

(2)、 $\lg \frac{4 \sqrt{2}}{7} - \lg 8^{\frac{2}{3}} + \lg 7 \sqrt{5} =$ ．

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三、解答题

17. 已知α为第三象限角， $f (α) = \frac{\sin (α - \frac{π}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{2} + α) \cdot \tan (π - α)}{\tan (- α - π) \cdot \sin (- α - π)}$ ，.

(1)、化简f(α)；

(2)、若 $\cos (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求f(α)的值.

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18. 已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x) ， f (2) = - 3$ ， $f (3) = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求 $y = f (x)$ 图象的顶点坐标；

(2)、在给出的平面直角坐标系中画出 $y = | f (x) |$ 的图象；

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19. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价 $P$ (单位：元/ $10^{2} kg$ )与上市时间 $t$ (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本 $Q$ (单位：元/ $10^{2} kg$ )与上市时间 $t$ (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.

(1)、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 $P = f (t)$ ，图2表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q = g (t)$ ；

(2)、若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？

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20. 已知函数 $f (x)$ 定义在 $(- 1 ， 1)$ 上且满足下列两个条件：
①对任意 $x ， y \in (- 1 ， 1)$ 都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ；②当 $x ， y \in (- 1 ， 1)$ 时，有 $\frac{f (x) + f (y)}{x + y} > 0$ ．

(1)、证明函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上是奇函数．

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性．

(3)、若 $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，试求函数 $G (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 的零点．

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