湖南省衡阳市衡阳县2020-2021学年高一（创新实验班）上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 1130º角的终边落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x > 1}$ ，集合 $B = {x ∣ x (x - 1) > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${x ∣ x > 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 ${x | x > 1}$ D、 ${x ∣ x < - 1 或 x > 1}$

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3. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} \neq x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq x - 1$ D、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq x - 1$

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4. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 4) ， x < 6 \\ \log_{3} x ， x \geq 6 \end{array}$ ，则 $f (1)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 函数 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) \ln | \frac{1}{x} |$ 的图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 已知实数m，n满足 $m n > 0$ ，则 $\frac{m}{m + n} - \frac{m}{m + 3 n}$ 的最大值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{3}$ B、 $3 - 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 (x = 1) \\ | \ln | x - 1 | | (x \neq 1) \end{array}$ ，若方程 $f^{2} (x) + a f (x) + b = 0$ 有九个不同实根，则 $a b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (- 2 ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4}]$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定域为 $R$ ，图象恒过点 $(0 ， 2)$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1$ ，则不等式 $f [\ln (e^{x} - 2)] < 2 + \ln (e^{x} - 2)$ 的解集为（）．

A、 $(- \infty ， \ln 2)$ B、 $(\ln 2 ， \ln 3)$ C、 $(\ln 3 ， 2 \ln 2)$ D、 $(2 \ln 2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列条件中，能使 $α$ 和 $β$ 的终边关于 $y$ 轴对称的是（）．

A、 $α + β = 540 °$ B、 $α + β = 360 °$ C、 $α + β = 180 °$ D、 $α + β = 90 °$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ 图像经过点 $(8 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）．

A、函数为增函数 B、若 $x > 1$ ，则 $f (x) > 1$ C、函数为奇函数 D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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11. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（）．

A、若 $\log_{a} \frac{1}{2} > 1$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、当 $α = 0$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 的图象是一条直线 C、若函数 $f (2^{x})$ 的定义域为 $[1 ， 2]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域是 $[2 ， 4]$ D、函数 $f (x) = a^{x - 1} + \log_{a} (2 x - 1) - 1$ （其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(1 ， 0)$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的一个零点为 $\frac{π}{6}$ ，且 $f (x_{1}) = 2$ ， $f (x_{2}) = - 2$ ， ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = \frac{π}{2}$ ，现有关于函数 $f (x)$ 的下列说法正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{12}]$ 上单调递减 B、直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 的图像的一个对称中心是 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ D、若将函数 $f (x)$ 的图像沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像， $A$ ， $B$ ， $C$ 为此两个函数图象不在同一条直线上的交点，则 $△ A B C$ 面积的最小值是 $\sqrt{2} π$

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三、填空题

13. 计算： $\log_{3} 36 - \log_{3} 4 + 2 \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 8 =$ ．

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14. 已知 $\sin α = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ， $\cos (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，且 $0 < α < \frac{3 π}{4}$ ， $0 < β < \frac{3 π}{4}$ ，则 $\sin β =$ ．

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15. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y - x y = 0$ ，且不等式 $\frac{1}{x - 1} + \frac{λ}{y - 1} \geq 8$ 恒成立，则正实数 $λ$ 的最小值为.

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16. 一般地，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数．某同学发现此结论可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．依据以上推广，则函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 3 x$ 图象的对称中心的坐标为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a < x < 2 a + 4}$ ，______，且 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答.

(1)、函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的定义域为集合 $B$ ；

(2)、不等式 $\frac{6}{x - 4} + 1 < 0$ 的解集为 $B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} - 1}$ ，的定义域（-1，1）.

(1)、当 $b = 2$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $b = 0$ 时，解不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0.$

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - a + 2$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x - a + 2 > 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < 2}$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $a \geq 0$ ， $b = 2$ ，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x - a + 2 > 0$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若存在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使等式 ${[f (x)]}^{2} + f (x) + m = 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 2020年上半年，新冠肺炎疫情在全球蔓延，超过60个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封城”．疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，湖南某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，通过市场调研分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产 $x$ （百套）该监测设备，需另投入生产成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x + 2600 ， 0 < x < 50 \\ 701 x + \frac{4900}{x + 10} - 6500 ， x \geq 50 \end{array}$ ，根据市场调研知，每套设备售价7万元，生产的设备供不应求．

(1)、求出2020的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百套）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)、2020年产量为多少百套时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln (e^{2 x} + 1) - x$ .

(1)、证明：函数 $g (x)$ 为偶函数；

(2)、若 $\forall x_{1} \in (0 ， + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (2 x_{1}) + m f (x_{1}) - g (x_{2}) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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