湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1} ， B = {x | y = \sqrt{3 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， 3)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 3]$

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2. 已知 $α \in R$ 则“ $\cos α = - \frac{1}{2}$ ”是“ $α = 2 k π + \frac{2 π}{3} ， k \in Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知角 $α$ 的终边过点 $(x ， 1 - 2^{x}) (x \neq 0)$ ，若 $\sin α < 0$ ，则实数x的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{3} - 1}$ 是幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ （）

A、0 B、-1 C、2 D、2或-1

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5. 计算： $\log_{3} 27 + 9^{- \frac{1}{2}} - \sqrt{{(- 4)}^{2}} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、0 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{28}{3}$

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6. 已知 $0 < x < 1$ ，则 $x (3 - 3 x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{2 m - e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{m}{x}$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} + \lg x$ 的零点为 $a$ ，设 $b = 3^{a}$ ， $c = \ln a$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 如果 $2 θ$ 是第四象限角，那么 $θ$ 可能是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 a x + 4 (a > 0)$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、当 $x_{1} + x_{2} > - 2$ 时， $f (x_{1}) < f (x_{2})$ B、当 $x_{1} + x_{2} = - 2$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2})$ C、当 $x_{1} + x_{2} > - 2$ 时， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ D、 $f (x_{1})$ 与 $f (x_{2})$ 的大小与a有关

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin 2 x \cos 2 x + \cos^{4} 2 x - \sin^{4} 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[\frac{k π}{2} - \frac{π}{6} ， \frac{k π}{2} + \frac{π}{12}] (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{24} ， 0)$ 对称

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足：当 $x ⩽ 1$ 时， $f (x - 4) = f (x)$ ，当 $x \in (- 3 ， 1]$ 时 $f (x) = | x + 1 | - 2$ ；当 $x > 1$ 时， $f (x) = \log_{a} (x - 1)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $f (x)$ 的值域为R C、实数a的取值范围为 $(2 ， + \infty)$ D、实数a的取值范围为 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 已知某扇形的弧长为 $\frac{3 π}{2}$ ，圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，则该扇形的半径为．

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14. 命题“ $\exists m \in R$ ，使关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - x + 1 = 0$ 有实数解”的否定是.

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15. 若 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\sin α + 2 \cos α)$ ，则 $\tan α =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 3 ， x \leq 2 \\ a + \log_{2} x ， x > 2 \end{array}$ 有最小值，则 $f (\frac{1}{a})$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $α$ 为锐角，求 $\cos (α + \frac{π}{3})$ ；

(2)、求 $\tan (2 α + \frac{π}{4})$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 - 2 x) + \log_{a} (x + 4)$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为2.求a的值.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + m x$ ，函数 $f (x)$ 在y轴左侧的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论关于x的方程 $f (x) - a = 0$ 的根的个数．

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20. 如图是边长为100米的正方形场地，其中 $A E = 60$ 米， $C D = 80$ 米， $△ D E F$ 区域被占用，现在五边形 $A B C D E$ 区域内规划一个矩形 $B N P M$ 区域，使点P，M，N分别在线段 $D E ， A B ， B C$ 上．

(1)、设 $P N = x$ 米， $M P = y$ 米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)、求矩形 $B N P M$ 面积的最大值，并确定点P的位置．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 m \cos^{2} x + m (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $m = \sqrt{3}$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最值．

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22. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (2 x) - m f (x - 1) + 1$ ，且在区间 $(- 1 ， + \infty)$ 上有两个零点，求实数m的取值范围．

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