湖北省鄂州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x∈R|x≥0}，B＝｛x∈Z|－1≤x－1≤1｝，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 命题“ $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} - x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < 0$ ， $x^{2} - x < 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x < 0$ C、 $\exists x \geq 0$ ， $x^{2} - x \geq 0$ D、 $\exists x \geq 0$ ， $x^{2} - x < 0$

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3. 已知角 $α$ 是第四象限角，且满足 $\sin (\frac{3 π}{2} - α) - 3 \cos (α - π) = 1$ ，则 $\tan (π - α) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 已知 $a = \log_{π} e ， b = \ln π ， c = \ln 3$ ，那么（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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5. 有一组试验数据如表所示：

x

2.01

3

4.01

5.1

6.12

y

3

8.01

15

23.8

36.04

则最能体现这组数据关系的函数模型是（）

A、y＝2^x^＋1－1 B、y＝x²－1 C、y＝2log₂x D、y＝x³

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6. “函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m}$ 是幂函数”是“函数 $g (x) = m x^{2} - 2 m^{2} x + m$ 值域为 $[0 ， + \infty)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $f (x) = \ln (x^{2} - a x + 1)$ 的定义域为 $R$ ，那么 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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8. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步恰竿齐，五尺板高离地……”某教师根据这首词设计一题：如图，已知 $A B ⊥ l ， C D ⊥ l ， A E = A C ， C F ⊥ A E$ ， $C D = 5 ， B E = 2 ， F C = 3 \sqrt{3}$ ，则弧 $\overset{⌢}{E C}$ 的长（）

A、π B、 $\sqrt{3} π$ C、2π D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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二、多选题

9. 下列函数中周期为 $π$ 的函数有（）

A、 $f (x) = \sin x$ B、 $f (x) = | 2 \cos x + 1 |$ C、 $f (x) = \tan x$ D、 $f (x) = \sin 2 x + \cos 2 x$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列式子一定成立的有（）

A、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ B、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \leq \frac{a + b}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{4}{a + b}$ D、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}$

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11. 若10^a＝4，10^b＝25，则（）

A、a+b＝2 B、b﹣a＝1 C、ab＞8lg²2 D、b﹣a＜lg6

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12. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（）

A、 $y = f (x) + 1$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有且仅有2个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{23})$ 单调递增 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{8} ， \frac{23}{8})$ D、将 $f (x)$ 的图象先右移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} ω x)$

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 12 ， 5)$ ，则 $\cos α =$ .

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14. 已知函数 $f (e^{x}) = \ln x$ ，若 $f (a) = 0$ ，则 $a =$ .

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15. 2021年湖北高考中政治、地理、化学、生物按照等级赋分，规则如下：原始分按照比例转换成A，B，C，D，E五个等级，然后利用等级赋分公式将原始分转换为赋分，例如B等级赋分公式如下： $\frac{Y_{2} - Y}{Y - Y_{1}} = \frac{85 - x}{x - 71}$ ，其中 $Y$ 为原始分， $x$ 为赋分， $Y_{1} 、 Y_{2}$ （ $Y_{1} < Y_{2}$ ）为各等级原始分区间的下限和上限，小王地理考了81分，等级为B，地理B等级原始分区间为 $75 - 86$ ，可以列式 $\frac{86 - 81}{81 - 75} = \frac{85 - x}{x - 71}$ ，计算出 $x$ $\approx$ 79分即为赋分，假设高考中小明地理、化学原始分均为 $Y$ ，等级均为B，地理B等级原始分区间为a~c，化学B等级原始分区间为b~c(b≥a)，转换后，地理赋分为 $t_{1}$ ，化学赋分为 $t_{2}$ ，则 $t_{1}$ $t_{2}$ (空格处填“ $\geq$ ”或“ $\leq$ ”).

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16. 已知函数 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = 2^{- x} ， x \in R$ ，对于 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ .（1）函数 $m (x)$ 的最大值为；（2）对于 $\forall x \in [t ， t + 1] ， t \in R$ 不等式 $m (x + 1) < {[m (x)]}^{2}$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 化简、求值：

(1)、 $3^{\log_{3} 2}$ ＋ $27^{\frac{1}{3}}$ ＋lg 50＋lg 2；

(2)、 $\frac{（ x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}) + 2 (x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{\sqrt{{(x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{3}})}^{2}} \sqrt{（ 1 - x^{- 1})^{2}}}$ ，（x＞1）

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18. 已知集合A＝ ${x | \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - x) \geq - 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ， $C = {x | \frac{1}{x - 3} < a}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、当 $a \leq 0$ 时，若 $B \subseteq C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $g (x) = - \sin (a x + \frac{π}{b}) + 1$ ，从下面三个条件中任选一个条件，求出 $a ， b$ 的值，并解答后面的问题.
①已知函数f(x)＝2sin(x＋ $\frac{π}{6}$ )·sin(x－ $\frac{π}{3}$ )＋2的最小值为 $a$ ，最大值为 $b$ ；

②已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，当 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 取到最小值时对应的 $a$ ， $b$ ；

③已知函数 $f (x) = b + \frac{3}{x - a}$ ，满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 6$ .

(1)、选择条件 ▲ ，确定 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x)$ 的单调递增区间和对称中心.

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20. 如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设 $∠ E A Q = θ$ ，长方形QGCH的面积为S.

(1)、求 $S$ 关于 $θ$ 的函数解析式；

(2)、求 $S$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 \sin x$ .

(1)、求 $x < 0$ 时，函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知f( $\frac{π}{4}$ －α)＝ $\frac{6}{5}$ ，f( $\frac{5 π}{4}$ ＋β)＝－ $\frac{24}{13}$ ，α∈( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{3 π}{4}$ )，β∈(0， $\frac{π}{4}$ )，求 $f (α + β)$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别为定义在 $R$ 上奇函数和偶函数，且满足 $f (x) + g (x) = 2 a^{x} ， (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、若 $g (1) = \frac{5}{2}$ ，令函数 $h (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} + g (x)$ ， $x \in [- 1 ， 1]$ ，求 $h (x)$ 的值域；

(2)、当 $t \geq 0$ 时，讨论关于 $x$ 的方程 $f (| x^{2} + 2 x - 2 |) + f (- t | x - 1 |) = 0$ 的根的个数.

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x	2.01	3	4.01	5.1	6.12
y	3	8.01	15	23.8	36.04