黑龙江省牡丹江市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \geq 0, x^{2} - 1 \geq - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 0, x^{2} - 1 < - 1$ B、 $\forall x < 0, x^{2} - 1 < - 1$ C、 $\exists x \geq 0, x^{2} - 1 < - 1$ D、 $\exists x < 0, x^{2} - 1 < - 1$

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2. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 6} ， B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A \cup B$ 为（）

A、 ${x | - 1 < x < 6}$ B、 ${x | 1 < x < 6}$ C、 ${x | 1 \leq x < 6}$ D、 ${x | x > - 1}$

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3. 已知函数f(x)＝ $\frac{x^{2}}{1 + | x - 1 |}$ ，则f(－2)＝（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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4. 下列函数中有2个零点的是（）

A、 $y = \lg x + 2$ B、 $y = 2^{| x |} - 1$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = | x | - 1$

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5. sin（ $- \frac{25}{6} π$ ）=（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 若 $cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{4}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $\sin (π - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $- \frac{12}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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7. 函数 $y = \sin (2 x - π) \cos (2 x + 2 π)$ 是（）

A、周期为 $\frac{π}{4}$ 的奇函数 B、周期为 $\frac{π}{4}$ 的偶函数 C、周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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8. 若 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ， $x + 2 y > m^{2} + 7 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 8, 1)$ B、 $(- \infty, - 8) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- 1, 8)$

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9. 函数 $y = \log_{a} (x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0$ 上，其中 $m \cdot n > 0$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、16 B、24 C、50 D、25

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10. 把正弦函数 $y = \sin x (x \in R)$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，得到的函数是（）

A、 $y = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{5 π}{2})$ ，下述四个结论：
① $f (x)$ 的图象的一条对称轴方程为 $x = - \frac{π}{2}$ ② $f (x)$ 是奇函数③将 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度可得到函数 $f (x)$ 的图象；④ $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增．

其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、②③④

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12. 已知函数 $f (x) =$ ${\begin{array}{l} | \log_{2} (x + 1) | ， x \in (- 1 ， 3) \\ \frac{4}{x - 1} ， x \in [3 ， + \infty) \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f [f (x)] - 1$ 的零点个数为（）

A、1 B、3 C、4 D、6

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二、填空题

13. 函数 $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域为

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14. 已知 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - 2 \cos α} = 2$ ，则 $\tan 2 α$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式是．

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16. 关于函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，有下列说法：
① $y = f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ；

② $y = f (x)$ 是以 $π$ 为最小正周期的周期函数；

③ $y = f (x)$ 在区间( $\frac{π}{24} ， \frac{13 π}{24}$ )上单调递减；

④将函数 $y = \sqrt{2} \cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是．

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三、解答题

17. 已知 $\tan α = 2$ ，计算：

(1)、 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{5 \cos α - \sin α}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2 \sin α \cos α - \cos^{2} α}$

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18. 已知集合 $A = {x \in R | a x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ．

(1)、若 $A$ 是空集，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A$ 中只有一个元素，求实数 $a$ 的值．

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19. 设函数 $y = f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的减函数，并且满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (\frac{1}{2}) = 1$

(1)、求 $f (1)$ 和 $f (2)$ 的值

(2)、如果 $f (\frac{x}{8}) + f (x - 1) < 2$ ，求 $x$ 的取值范围

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20. 已知函数f（x）＝sin²x﹣cos²x﹣2 $\sqrt{3}$ sinxcosx（x∈R）.

(1)、求f（x）的单调递增区间；

(2)、求函数f（x）在区间[ $- \frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上的最大值和最小值.

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21. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + θ)$ ， $(A > 0 ， ω > 0 ， | θ | < \frac{π}{2})$ 的图象如下.

(1)、求它的解析式；

(2)、若对任意实数 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则有 $| f (x) - m | < 2$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) - b (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图像两相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，若将 $f (x)$ 的图像先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移 $\sqrt{3}$ 个单位，所得函数 $g (x)$ 为奇函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对任意 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ ， $f^{2} (x) - (2 + m) f (x) + 2 + m \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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