河南省驻马店市2020-2021学年高一上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A (- \sqrt{3} ， 2)$ ， $B (\sqrt{3} ， 0)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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2. 设 $a = \ln \frac{1}{5}$ ， $b = e^{- 2}$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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3. 在空间直角坐标系中，点 $A (- 3 ， 2 ， 4)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 2 ， - 4)$ B、 $(3 ， 2 ， - 4)$ C、 $(3 ， - 2 ， 4)$ D、 $(- 3 ， - 2 ， 4)$

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4. 下面说法正确的是（）

A、 $\emptyset \in {0}$ B、 ${x | x \geq 2} = {y | y = \sqrt{x - 2}}$ C、集合 ${(x ， y) | x = \sqrt{4 - y^{2}} + 1}$ 表示曲线的长度为2π D、若 $A \subseteq U$ ， $B \subseteq U$ ，则 $C_{U} (A \cap B) = (C_{U} A) \cap (C_{U} B)$

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5. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2 x + 3)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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6. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积是（）

A、 $2 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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7. 已知 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m // β$ B、若 $m // α$ ， $n // β$ ．且 $α // β$ ，则 $m // n$ C、若 $m // α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$

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8. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 y - 11 = 0$ 截直线 $m x - y - 2 m + 1 = 0$ 所得的最短弦长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{11}$

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9. 在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ P D A = 45 °$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成的角为（）

A、90º B、60º C、45º D、30º

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10. 若函数 $f (x) = \max {3 + \log_{\frac{1}{9}} x ， \log_{3} x}$ ，其中 $\max {a ， b} = {\begin{array}{l} b ， a \leq b \\ a ， a > b \end{array}$ ．当 $0 < c < d$ 时，有 $f (c) = f (d)$ ，则 $d \sqrt{c}$ 的值为（）

A、6 B、9 C、18 D、27

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11. 已知平面图形 $P A B C D$ ， $A B C D$ 为矩形， $A B = 4$ ，是以 $P$ 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将 $△ P A D$ 沿着 $A D$ 翻折至 $△ P^{'} A D$ ，当四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 体积的最大值为 $\frac{16}{3}$ ，此时四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 外接球的表面积为（）

A、12π B、16π C、24π D、32π

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12. 设函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (- x)$ ，若两函数在区间 $[m ， n]$ 上的单调性相同，则把区间 $[m ， n]$ 叫做 $y = f (x)$ 的“稳定区间”．已知区间 $[1 ， 2021]$ 为函数 $y = | {(\frac{1}{3})}^{x} + a |$ 的“稳定区间”，则实数 $a$ 的可能取值是（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、-4

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二、填空题

13. 已知集合 $M$ 满足 ${1 ， 2} \subseteq M ⊊ {1 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则符合条件的集合 $M$ 有个．

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14. 计算 $2^{3 + \log_{2} 5} + \log_{2} (\log_{9} 3) =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = 2 \ln x + x^{2} + a - 2$ 在 $(1 ， e)$ 上有零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 如图，已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ，点 $E$ 为棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，平面 $B E D_{1}$ 与棱 $A A_{1}$ 交于点 $F$ ，给出下列命题：
①无论 $E$ 在 $C C_{1}$ 如何移动，四棱锥 $B_{1} - B E D_{1} F$ 的体积恒为定值；

②截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值是 $8 \sqrt{5}$ ；

③当 $E$ 点不与 $C$ ， $C_{1}$ 重合时，在棱 $A D$ 上恒存在点 $G$ ，使得 $C G //$ 平面 $B E D_{1}$ ；

④存在点 $E$ ，使得 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A D_{1} E$ ；其中正确的命题是．

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三、解答题

17. 已知直线 $2 x - 3 y + 1 = 0$ 和直线 $x + y - 2 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、求过点 $P$ 且与直线 $3 x - y - 1 = 0$ 平行的直线方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与直线 $3 x - y - 1 = 0$ 垂直，且 $P$ 到 $l_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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18. 已知集合 $M = {x | \frac{1}{8} < 2^{x} < 32}$ ， $N = {x | 0 < x < 4}$ ， $C = {x | a < x \leq 2 a - 1}$ ．

(1)、求 $M \cap (C_{R} N)$ ；

(2)、若 $M \cup C = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 如图：在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A = P D = A D = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是线段 $P C$ ， $A D$ 的中点．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P N B$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求三棱锥 $A - N B M$ 的体积．

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20. 已知圆 $M$ 的圆心在圆 $4 x^{2} - 12 x + 4 y^{2} + 1 = 0$ 上，且与 $x$ 轴和直线 $x + \frac{1}{2} = 0$ 都相切．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、当圆心 $M$ 位于第一象限时，设 $P$ 是直线 $2 x + y - 5 = 0$ 上的动点， $P A$ ， $P B$ 是圆 $M$ 的两条切线， $A$ ， $B$ 为切点，求四边形 $P A M B$ 面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = 2021^{x}$ 可以表示为一个奇函数 $g (x)$ 与一个偶函数 $h (x)$ 的和．

(1)、请分别求出 $g (x)$ 与 $h (x)$ 的解析式；

(2)、记 $F (x) = g (x) \cdot h (x)$ ．
（i）证明： $F (x)$ 为奇函数；

（ii）若存在 $x \in [0 ， 2]$ ，使得不等式 $F (3^{x} - 9^{x}) + F (m \cdot 3^{x} - 3) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若存在函数 $g (x)$ ， $h (x)$ ，使得 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ 对于任意 $x \in R$ 都成立，那么称 $g (x)$ 为函数 $f (x)$ 的一个下界函数， $h (x)$ 为函数 $f (x)$ 的一个上界函数．

(1)、函数 $g (x) = - x^{2} + 2 x - 1$ ， $h (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 是否可以分别为某个函数的下界函数和上界函数？请说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq - 1 \\ \sqrt{1 - x^{2}} ， - 1 < x < 1 \\ x - 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，设函数 $g (x) = x - b$ 是 $f (x)$ 的一个下界函数，函数 $h (x) = x + b$ 是 $f (x)$ 的一个上界函数，求实数 $b$ 的取值范围．

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