河南省许昌市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $B = {x ∣ \log_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $\emptyset$

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2. 已知直线 $l_{1}$ 过 $A (2 ， 3)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的斜率为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 函数 $y = \ln (x^{2} - 3 x - 4)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- 1 ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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4. 以点 $A (- 3, 4)$ 为圆心，且与 $y$ 轴相切的圆的标准方程为（）

A、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$

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5. 已知函数 $f (x) = - \log_{a} x (a > 0 ， a \neq 1)$ ，当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ ．方程 $y = \frac{1}{a} x + a$ 表示的直线是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = 3^{0.3}$ ， $b = {0.2}^{3}$ ， $c = \lg 0.2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三者的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点 $E$ 在线 $A_{1} C_{1}$ 上， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $C D$ 的中点，则下列结论中错误的是（）

A、 $F M // A_{1} C_{1}$ B、 $B M ⊥$ 平面 $C C_{1} F$ C、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值 D、存在点 $E$ ，使得平面 $B E F //$ 平面CC₁D₁D

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8. 已知点 $A (1 ， 3)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 下列命题中正确的个数是（）
①两条直线 $a$ ， $b$ 没有公共点，那么 $a$ ， $b$ 是异面直线②若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $α$ 内，则 $l / / α$ ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．④若直线 $l$ 与平面 $α$ 平行，则直线 $l$ 与平面 $α$ 内的任意一条直线都没有公共点

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $\frac{| P A |}{| P O |} = 2$ ，则动点 $P$ 轨迹与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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11. 函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) \ln (x^{2} + 1)$ 图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2 x - 6 | ， x \geq 0 \\ 2^{x} + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 方程 ${[f (x)]}^{2} - m f (x) + m - 1 = 0$ 有5个不同实根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[3 ， 7]$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $(3 ， 7]$

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二、填空题

13. 当 $x > 0$ 时，函数 $f (x) = {(a^{2} - 1)}^{x}$ 的值总大于1，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 经过点 $M (- 2, 1)$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 5$ 的切线，则切线的方程为．

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15. 如下图所示，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为1，且 $P A$ 过球心， $△ P A B$ 围绕棱 $P A$ 旋转60°后恰好与 $△ P A C$ 重合.若 $P B = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为.

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16. 某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为 $l_{1} = 5.06 x - 0.15 x^{2}$ 和 $l_{2} = 2 x$ ，其中 $x$ 为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为万元.

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三、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 0 < 2 x + a \leq 3}$ ， $B = {x ∣ - \frac{1}{2} < x < 2}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $(C_{U} B) \cup A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 是定义在R上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明．

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19. 如图，射线 $O A$ 、 $O B$ 分别与 $x$ 轴正半轴成 $30 °$ 和 $45 °$ 角，过点 $P (1 ， 0)$ 作直线 $A B$ 分别交 $O A$ 、 $O B$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $A B$ 的中点 $C$ 恰好落在直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上时，求直线 $A B$ 的方程．

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20. 已知如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C$ ，且 $A B ⊥ A C$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上.

(1)、若 $P$ 为 $A_{1} B_{1}$ 中点，求证： $N P / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、证明： $P N ⊥ A M$

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21. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 关于直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x - 2$ 对称的图形为圆 $C$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = k (x - 1)$ ， $(k > 1)$ 与圆 $C$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，若 $△ O E F$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 如图所示，正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $O$ 为底面正方形的中心，侧棱 $P A$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求异面直线 $P D$ 与 $A E$ 所成角的正切值．

(2)、在棱 $A D$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $E F ⊥$ 侧面 $P B C$ ，若存在，试确定点 $F$ 的位置；若不存在，说明理由．

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