河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ \log_{2} x < 2}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， 0] \cup [4 ， + \infty)$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (4 ， + \infty)$

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2. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 的面积为（）

A、π B、4π C、9π D、81π

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3. 直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、150° D、120°

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4. 若圆锥的轴截面是面积为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形，则圆锥的体积为（）

A、 $8 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{8 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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5. 已知 $x = 4^{2021}$ ， $y = \log_{4} \frac{1}{2021}$ ， $z = \log_{2} 3 \times \log_{3} 4$ ，则（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $z > x > y$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 有-1和3两个零点，若 $f (x)$ 在区间 $[a - 1 ， a + 2]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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7. 将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（）

A、 $A B // C D$ ， $A B ⊥ E F$ B、 $A B ⊥ C D$ ， $A B ⊥ E F$ C、 $A B // C D$ ， $A B$ 与 $E F$ 所成的角为60° D、 $A B ⊥ C D$ ， $A B$ 与 $E F$ 所成的角为 $60^{\circ}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = \frac{2}{e^{x} - e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

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9. 直线 $x + 2 y + t = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、±1 B、±2 C、 $\pm \sqrt{5}$ D、 $\pm \sqrt{10}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \geq - 2 \\ \log_{2} (x^{2} - 4) ， x < - 2 \end{array}$ ，则满足 $f (x) \geq 3$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup [1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{3}] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{3}] \cup [3 ， + \infty)$

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{16}{3}$ D、4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列判断正确的个数为（）
① $x_{1} + x_{2} = - 2$ ；② $x_{3} x_{4} = 1$ ；③ $x_{2} - x_{1} \leq 2$ ；④ $x_{4} - x_{3} \leq 1$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则集合 $A \cap B$ 中的元素个数为.

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14. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 6)$ 的单调递增区间为.

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15. 已知点 $P$ 是圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上的动点，点 $Q (3 ， 1)$ ， $M$ 是 $P Q$ 的中点，则点 $M$ 到直线 $x = 4$ 的距离的取值范围是.

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点在表面积为 $64 π$ 的球面上， $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $C D = 4 \sqrt{3}$ ， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A B$ 和 $C D$ 的中点，则线段 $M N$ 的最大长度为.

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三、解答题

17. 分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式.

(1)、经过点 $(2 ， 0)$ 和 $(4 ， - 1)$ ；

(2)、在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别为 $2$ 和 $- 3$ ；

(3)、经过点 $(1 ， 2)$ 且与直线 $x - y + 1 = 0$ 垂直.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的值域.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $P C = \sqrt{2}$ ， $P D = \sqrt{3}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $P B$ 的中点，且 $P B = 2 A F$ .求证：

(1)、平面 $P A D //$ 平面 $C E F$ ；

(2)、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A C$ .

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 垂直于 $⊙ O$ 所在的平面， $M$ 为圆周上任意一点， $A N ⊥ P M$ ， $A Q ⊥ P B$ ，垂足分别为 $N$ ， $Q$ .

(1)、求证： $P B ⊥ N Q$ ；

(2)、若 $P A = A M = 1$ ， $P B = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $P - A N Q$ 的体积.

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21. 某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为 $x (0 < x < 1)$ ，并预计 $8$ 年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、若某一年的碳排放量为今年碳排放量的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的 $\frac{1}{16}$ ？

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22. 已知点 $M (1 ， 0)$ ， $N (1 ， 3)$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 过点 $N$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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