河南省南阳市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 4 ， 7}$ ， $B = {x | x + 4 > 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${2 ， 4 ， 7}$ C、 ${2 ， 7}$ D、 ${4 ， 7}$

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2. 直线 $l_{1}$ ： $2 x + y - 3 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x - y + 6 = 0$ 交点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 5)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(2 ， - 1)$

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3. 圆心为 $(2 ， - 5)$ ，半径为 $4$ 的圆的标准方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、8 C、9 D、27

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5. 已知a是函数 $h (x) = 2^{x} - 8$ 的零点，则函数 $f (x) = a x + \ln x - 5$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 已知 $l$ ， $m$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $l / / m$ C、若 $l / / α$ ， $m \subset α$ ，则 $l / / m$ D、若 $l \subset α$ ， $m \subset α$ ，且 $l / / β$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$

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7. 已知 $a = 2^{- 0.1}$ ， $b = \log_{3} 5$ ， $c = {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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8. 已知圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 36$ ，则圆 $C$ 上到直线 $l$ ： $y = \frac{3}{4} x - 5$ 的距离为4的点共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 函数 $f (x) = 3^{- x^{2} + 4 x + 3}$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(2 ， 7)$

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10. 一東光线从点 $P (2 ， 9)$ 射向 $y$ 轴上一点 $A$ ，又从点 $A$ 以 $y$ 轴为镜面反射到 $x$ 轴上一点 $B$ ，最后从点 $B$ 以 $x$ 轴为镜面反射，该光线经过点 $Q (3 ， 3)$ ，则该光线从 $P$ 点运行到 $Q$ 点的距离为（）

A、 $\sqrt{37}$ B、13 C、 $\sqrt{35}$ D、12

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、8π B、12π C、16π D、32π

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12. 若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = 2 + \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}}$ 有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{4}{3}]$ B、 $[1 ， \frac{4}{3})$ C、 $[0 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{4}{3})$

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二、填空题

13. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 对于任意的实数 $x$ ， $y$ 满足 $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ ，且 $f (x)$ 恒大于 $0$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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15. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + (a - 2) y + a - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x - a y = 0$ 互相平行，则它们之间的距离为．

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16. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 $f (m) + f (3 - 2 m) > f (0)$ ，则m的取值范围为.

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三、解答题

17.

(1)、已知直线 $l$ 经过 $A (2 ， 7)$ ， $B (3 ， 4)$ 两点，求 $l$ 的一般方程.

(2)、已知直线 $m$ 的倾斜角为60º，且在 $y$ 轴上的截距为2，求 $m$ 的一般方程.

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18. 如图，在三棱锥 $A - B P C$ 中， $A P ⊥ P C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点， $D$ 为 $P B$ 的中点，且 $M P = M B$ .

(1)、证明： $D M / /$ 平面 $A P C$ ；

(2)、若 $B C = 6$ ， $A P = B P = 10$ ，求三棱锥 $P - M C D$ 的体积．

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ ，且 $a \neq 1$ ）在 $[1 ， 9]$ 上的最大值为2.

(1)、求a的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (\frac{1}{9} - x^{2}) - m$ 存在零点，求m的取值范围.

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ .

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ .

(2)、求点 $C$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离.

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21. 某商品的日销售量 $y$ （单位：千克）是销售单价 $x$ （单位：元）的一次函数，且单价越高，销量越低．把销量为0时的单价称为无效价格．已知该商品的无效价格为150元，该商品的成本价是50元/千克，店主以高于成本价的价格出售该商品．

(1)、若店主要获取该商品最大的日利润，则该商品的单价应定为多少元？

(2)、通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，如果店主要获得该商品最大日利润的64%，则该商品的单价应定为多少元？

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22. 已知圆 $C$ 经过 $P (0 ， 2)$ ， $Q (1 ， \sqrt{3})$ 两点，且圆心在直线 $x - y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程.

(2)、若圆 $C$ 与 $y$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点( $A$ 在 $B$ 上方)，直线 $l$ ： $y = k x + 1$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $T$ .请问点 $T$ 是否在定直线上?若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

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