河北省石家庄市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | x + y = 2}$ ， $B = {(x, y) | x - y = 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${(- 1, - 1)}$ B、 ${(1, - 1)}$ C、 ${(- 1, 1)}$ D、 ${(1, 1)}$

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2. 已知 $\tan θ = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ} =$ （）

A、5 B、 $\frac{5}{4}$ C、6 D、 $\frac{6}{5}$

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3. 下列函数中与函数 $y = \sqrt{x^{2}}$ 值域相同的是（）

A、 $y = \log_{4} x$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2} - 2 x + 1$

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4. 若 $0 < a < 1$ ，则“ $\log_{a} | x | > \log_{a} | y |$ ”是“ $a^{x} > a^{y}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x > 0 \\ 2^{- x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (x)$ 的最小值是1 D、 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$

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6. 设 $a = {log}_{3} 8$ ， $b = {log}_{0.5} 0.2$ ， $c = {log}_{4} 24$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 已知函数 $f (x) = | \log_{3} x |$ 在 $[\frac{1}{9} ， m]$ 上的值域为 $[0 ， 2]$ ，则 $f (3 m)$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[0 ， 3]$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + m}{2^{x} + 1} (0 \leq x \leq 1)$ ，函数 $g (x) = (m - 1) x (1 \leq x \leq 2)$ .若任意的 $x_{1} \in [0 ， 1]$ ，存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， \frac{5}{3}]$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， \frac{5}{2}]$ D、 $[\frac{5}{3} ， \frac{5}{2}]$

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二、多选题

9. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（）

A、1、4 B、1、2 C、2、1 D、2、4

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 b - 1) x + b - 2 (x > 0) ， \\ - x^{2} + (2 - b) x - 1 (x ⩽ 0) \end{array}$ 在R上为单调增函数，则实数 $b$ 的值可以为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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11. 如图是三个对数函数的图象，则（）

A、 $a > 1$ B、 $0 < b < 1$ C、 $2^{b} < 2^{c} < 2^{a}$ D、 $c < b$

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12. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 3)$ 上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若 $f (0) > 0$ ， $f (1) f (2) f (3) < 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的两个零点可以分别在区间 $(0 ， 1)$ 和 $(1 ， 2)$ 内 B、函数 $f (x)$ 的两个零点可以分别在区间 $(1 ， 2)$ 和 $(2 ， 3)$ 内 C、函数 $f (x)$ 的两个零点可以分别在区间 $(0 ， 1)$ 和 $(2 ， 3)$ 内 D、函数 $f (x)$ 的两个零点不可能同时在区间 $(1 ， 2)$ 内

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x - x^{2}}}{\log_{2} x}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ，函数 $f (x)$ 的定义域为、

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14. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {x ∣ x ⩽ a}$ ，若 $A \cap B$ 有两个元素，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{5}{b} = 2$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = m \cdot 2^{2 x} + n \cdot 2^{x} + n^{2} - 2 n - 1 (m ， n \in R)$ 存在最小值，且对于 $n$ 的所有可能的取值都满足 $f (0) > 0$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知角 $θ$ 的终边上有一点 $P (m ， \sqrt{2}) (m \neq 0)$ ，且 $\cos θ = \frac{m}{4}$ ．

(1)、求实数m的值；

(2)、求 $\sin θ$ ， $\tan θ$ 的值．

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18. 已知 $f (θ) = \frac{\cos (2 π - θ) \sin (- θ) \tan (π + θ) \cos (π - θ)}{\sin (\frac{π}{2} - θ) \cos (\frac{π}{2} + θ)}$ ．

(1)、化简 $f (θ)$ ；

(2)、若 $θ$ 为第四象限角，且 $\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $f (θ)$ 的值．

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19. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = {log}_{a} x$ （ $a > 1$ ），并且它在 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上的最大值为 $1$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、令 $F (x) = f (\frac{1}{3} + x) + f (\frac{1}{3} - x)$ ，判断函数 $F (x)$ 的奇偶性，并求函数 $F (x)$ 的值域.

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20. 设指数函数 $f (x) = {(m + 2)}^{x}$ ，幂函数 $g (x) = (m^{2} + m + 1) x^{3}$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、设 $a < 0$ ，如果存在 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $a f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 3}{2^{x} + a} + b (a > 0)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + \frac{4}{f (x) + 2} ⩽ 3$ .

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22. 已知函数 $f (x) = (\log_{2} 16 + \log_{2} x^{2}) \cdot \log_{2} \frac{x}{64}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、关于 $x$ 的方程 $f (- x^{2} + a x) = 0$ 恰有三个解，求实数 $a$ 的取值集合；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1} > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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