河北省邯郸市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 9}$ ， $B = {x | | x + 1 | < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 9}$ B、 ${x | - 3 < x \leq 9}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 9}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 9}$

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2. $\cos \frac{23 π}{6} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 若 $a = 3^{0.3}$ ， $b = \log_{0.3} 3$ ， $c = {0.5}^{0.5}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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4. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{2 m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数m的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、-2或1

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5. 已知实数 $m > 2$ ，集合 $A = {y | y = 2^{x - 1} + 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - (m + 2) x + 2 m \leq 0}$ ，若 $A \cap B \neq ϕ$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(2 ， 4]$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2 a}}$ 的定义域为A，函数 $g (x) = \log_{2} (x^{2} - x + \frac{9}{4})$ 的值域为B，又 $A \subseteq B$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2} ， - \infty)$

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7. 已知 $\cos α + \sin^{2} β = \frac{3}{2}$ ， $\sin α + \sin β \cos β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{5}{36}$ D、 $- \frac{5}{18}$

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8. 设 $f (x) = x^{2} + (a - 1) x + 5$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上的图象位于直线 $y = x + 1$ 上方，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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二、多选题

9. 在以下函数中，恰有1个零点的函数是（）

A、 $y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ B、 $y = | 3^{x} - 1 |$ C、 $y = | 2 x + 1 | - \frac{1}{2}$ D、 $y = 2^{x} - x^{2}$

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10. 下列命题的否定中，真命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + \frac{1}{4} < 0$ B、所有正方形既是矩形也是菱形 C、 $\exists a > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 + a = 0$ D、所有三角形都有外接圆

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11. 已知曲线 $C_{1} ： y = \cos 4 x$ ， $C_{2} ： y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线 $C_{2}$ B、把曲线 $C_{1}$ 向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线 $C_{2}$ C、把曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 单位长度，得到曲线 $C_{2}$ D、把曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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12. 下列结论中，所有正确的结论有（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、当 $x \in R$ 时， $\sin x + \frac{4}{\sin x} \geq 4$ C、若 $a \in R$ ，则 $\frac{a^{2} + 3}{\sqrt{a^{2} + 2}}$ 的最小值为2 D、若 $a ， b \in R^{+}$ ， $a + 2 b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{9}{2} + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 12}$ ， $B = {x | | x | \leq 5 ， x \in Z}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ 的子集个数为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x + 1 | ， x > 0 \\ x^{2} + 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若 $f (f (m)) = 2$ ，则 $m =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 81 \ln x - {(\frac{1}{3})}^{x - 3} - 80$ 的零点位于区间 $(k ， k + 1)$ 内，则整数 $k =$ .

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16. 已知 $m ， n \in R$ ，且 $2 m^{2} - m n + n^{2} = 1$ 成立，则 $m - 2 n$ 的取值范围.

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四、解答题

17. 已知 $a > 0$ ，集合 $A = {x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 a x - 3 a^{2} \geq 0}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (4 x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} \cos (4 x - \frac{5 π}{6})$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{24})$ 上值域.

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19. 已知函数 $f (x)$ 对于任意 $x ， y \in R$ 都有 $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ 且 $f (x) > 0$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (0)$ ，判断函数 $f (x)$ 的单调性并利用定义加以证明；

(2)、若函数 $g (x)$ 为 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，当 $0 < x \leq 2$ 时， $g (x) = f (x)$ ，解不等式 $g (t - 1) + g (2 t) < 0$

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20. 某商品的进货价格为每千克6元，利用数学知识进行市场分析模拟可得：该商品的预定价x（整数）（元/千克）与销售y（件）之间的关系式为 $y = - x + 15$ ，

(1)、预定售价x为多少元/千克时，销售总利润最大？此时总利润是多少元？

(2)、现定义利用总利润与预售价x的比为“利润售价比”，则预定售价x为多少时，“利润售价比”最大？

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21. 函数 $f (x) = A \cos (ω x + ϕ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，先把函数 $f (x)$ 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $g (x)$ 图象的对称中心.

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 时，求 $g (x)$ 的值域.

(3)、当 $x \in [- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 时，方程 $g^{2} (x) + (2 - m) g (x) + 3 - m = 0$ 有解，求实数m的取值范围.

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22. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且当 $x \in [- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的解析式.

(2)、若 $f (x) \geq m^{2} - 2 a m - 9$ 对所有 $x \in [- 2 ， 2]$ ， $a \in [- 1 ， 1]$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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