湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题4 可化为一元一次方程的分式方程

试卷更新日期：2021-12-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（）

A、 $\frac{120}{x - 2} = \frac{120}{x} - 3$ B、 $\frac{120}{x} = \frac{120}{x + 2} - 3$ C、 $\frac{120}{x + 2} = \frac{120}{x} - 3$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{120}{x - 2} - 3$

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2. 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）？为解决此问题，可设派 $x$ 人挖土，其他人运土，下列所列方程：① $\frac{144 - x}{x} = \frac{1}{3}$ ；② $144 - x = \frac{x}{3}$ ；③ $x + 3 x = 144$ ；④ $\frac{x}{144 - x} = 3$ ．正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 某人往返于 $A$ ， $B$ 两地，去时先步行2公里再乘汽车10公里；回来时骑自行车，来去所用时间恰好一样，已知汽车每小时比步行多走16公里，汽车比骑自行车每小时多走8公里，若步行速度为x公里/小时，则可列出方程（）

A、 $\frac{2}{x} + \frac{12}{x + 8} = \frac{10}{x + 16}$ B、 $\frac{10}{x + 16} - \frac{12}{x + 8} = \frac{2}{x}$ C、 $\frac{2}{x} + \frac{10}{x + 16} = \frac{12}{x + 8}$ D、 $\frac{10}{x + 16} + \frac{12}{x + 8} = \frac{2}{x}$

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4. 关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 会产生增根，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、-4 C、0或-4 D、-4或6

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5. 小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（　　）

A、 $\frac{5}{x + 1} - \frac{5}{x} = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{5}{x} - \frac{5}{x + 1} = \frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{x} - \frac{5}{x + 1} = 15$ D、 $\frac{5}{x + 1} - \frac{5}{x} = 15$

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6. 某船在静水中航行的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时，该船从甲地顺流去乙地a小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为（）

A、 $\frac{a (x + y)}{x - y}$ 小时 B、 $\frac{a (x - y)}{x + y}$ 小时 C、 $\frac{a x}{x + y}$ 小时 D、 $\frac{a (x + y)}{y - x}$ 小时

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7. 方程 $\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{x - 1} = - 1$ 的解是（）

A、x=2 B、x=1 C、x=0 D、无实数解

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8. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为（）

A、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} - 12$ B、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} + 12$ C、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x + 15} - 12$ D、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x + 15} + 12$

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9. 如果关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 2} = 1 - \frac{m}{x - 2}$ 有增根，则m的值为（）

A、﹣3 B、3 C、﹣1 D、﹣2

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10. 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（）

A、 $\frac{30}{x} + 15 = \frac{30}{1.5 x}$ B、 $\frac{30}{x} - 15 = \frac{30}{1.5 x}$ C、 $\frac{30}{x} + \frac{1}{4} = \frac{30}{1.5 x}$ D、 $\frac{30}{x} - \frac{1}{4} = \frac{30}{1.5 x}$

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二、填空题

11. 用换元法解方程 $\frac{x^{2} - 12}{x} - \frac{4 x}{x^{2} - 12} = 3$ 时，设 $\frac{x^{2} - 12}{x} = y$ ，则原方程可化为

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12. 分式方程 $\frac{5}{x} = \frac{a}{x - 4}$ 有解，则字母a的取值范围．

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13. 若关于x的方程 $\frac{a}{x - 2} = \frac{x - 1}{x - 2} - 3$ 有增根，则a= ．

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14. 若关于x的分式方程 $\frac{2 x}{x - 2} = \frac{m}{x - 2} + 1$ 有增根，则m的值为.

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15. 若关于x的分式方程 $\frac{3 x}{x - 2}$ ＝ $\frac{m}{2 - x}$ +5的解为正数，则m的取值范围为.

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16. 方程 $\frac{1}{x + 2} + \frac{4}{x^{2} - 4} = 1$ 的解是．

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三、计算题

17. 解分式方程：

(1)、 $\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x + 1} + 1$

(2)、 $\frac{x - 2}{x - 3} = 2 - \frac{1}{6 - 2 x}$

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四、解答题

18. 若关于x的方程 $\frac{m - 2 x}{2 - x} = \frac{1}{2}$ 的解为非负数，则实数m的取值范围．

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19. 为了治理污水，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，铺设1200米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 $20 %$ ，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？

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20. 解分式方程 $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 6}{x + 7} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 5}{x + 6}$

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五、综合题

21. 某地对一段长达2400米的河堤进行加固，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．

(1)、原来每天加固河堤多少米？

(2)、若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？

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22. （探索发现）
先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ； $\dots$

(1)、若 $n$ 为正整数，直接写出结果： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

(2)、（拓展延伸）
根据上面探索的规律，解决下面的问题：

解关于 $x$ 的分式方程： $\frac{1}{(x - 1) (x - 2)} - \frac{1}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{2}{(x - 1) (x - 3)} = \frac{x - 5}{x - 3}$ ．

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23. 解方程
① $\frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x + 1} - 1$ 的解是 $x =$ 0；

② $\frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x + 1} - 1$ 的解是 $x =$ 1；

③ $\frac{3}{x + 1} = \frac{6}{x + 1} - 1$ 的解是 $x =$ ；

④ $\frac{4}{x + 1} = \frac{8}{x + 1} - 1$ 的解是 $x =$ ；

(1)、请完成上面的填空；

(2)、根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；

(3)、请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解.

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