高中数学人教A版（2019）选择性必修二第四章数列单元试卷

试卷更新日期：2021-12-14 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，且 $a_{n} = 2 n + 1$ ， $b_{n} = 4 n - 1$ ，将 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${c_{n}}$ ，设 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{k} = 4 a_{k}$ ，则正整数 $k =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 3$ ， $2 a_{4} + 3 a_{7} = 9$ ，则 $S_{7}$ 的值等于（）

A、21 B、1 C、-42 D、0

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{9} + 3 a_{11} < 0$ ， $a_{10} \cdot a_{11} < 0$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值，那么 $S_{n}$ 取得最小正值时 $n$ 等于（）

A、19 B、20 C、21 D、22

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4. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $c (\cos A + 1) = a \cos C$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成公差为 $- 1$ 的等差数列，则 $△ A B C$ 的最小角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 数列 $\frac{3}{4} ， \frac{4}{7} ， \frac{1}{2} ， \cdot \cdot \cdot$ 的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 2}{3 n + 1}$ B、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ C、 $a_{n} = \frac{n + 2}{2 n + 2}$ D、 $a_{n} = \frac{n + 5}{5 n + 3}$

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6. 若等差数列 ${a_{n}}$ 与等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 5}{3 n - 1}$ ，则 $\frac{a_{8}}{b_{8}} =$ （）

A、 $\frac{21}{23}$ B、 $\frac{13}{11}$ C、 $\frac{35}{44}$ D、 $\frac{37}{47}$

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7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）

A、 $\frac{4}{5}$ 钱 B、 $\frac{3}{4}$ 钱 C、 $\frac{3}{5}$ 钱 D、 $\frac{2}{3}$ 钱

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8. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a_{n}^{2}}{2021} (n \in N^{*})$ ，记 $T_{n} = (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \dots (1 - a_{n})$ ，则使 $T_{n} < 0$ 成立的最小正整数 $n$ 是（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其公比大于 $1$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 20$ ， $a_{3} = 8$ ，则 $\frac{S_{10}}{a_{5} - 1} =$ （）

A、66 B、64 C、62 D、60

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二、多选题

10. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 12$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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11. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，已知 $S_{3} = 21$ ， $S_{6} = 189$ ，则（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{1} = 3$ C、 $q = 2$ D、 $q = 3$

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12. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2} = 10$ ， $S_{5} = S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{3} = S_{4}$ B、 $a_{6} = 10$ C、 $S_{n}$ 的最大值为30 D、 $a_{n}$ 的最大值为15

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若数列 ${S_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、若数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 和 ${\frac{a_{n}^{2}}{n}}$ 均为等差数列，则 $S_{3} = 2 a_{3}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 和 ${a_{n}^{2}}$ 均为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 是常数数列

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14. 在公比为 $q$ 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1, a_{5} = 27 a_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 3$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{5} = 121$ D、 $2 \lg a_{n} = \lg a_{n - 2} + \lg a_{n + 2} (n \geq 3)$

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三、填空题

15. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ .若 $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = 14$ ， $q < 0$ ，则 $q =$ ； $a_{4} =$ .

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16. 记 $S_{n}$ 为等差数列{a_n}的前n项和.若 $a_{1} \neq 0 ， a_{2} = 6 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}} =$ .

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17. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = - 3$ ， $2 a_{4} + 3 a_{7} = 9$ ，则 $S_{7} =$ .

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18. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为 $\frac{1}{n} (n \geq 2)$ ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ，…，则第7行第5个数(从左往右数)为.

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19. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = \sqrt{5}$ ， $a_{2} + a_{2021} = 0$ ，则 $S_{2022} =$ ；当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n =$ .

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20. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{4} = 14$ ， $S_{7} = 70$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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四、解答题

21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n - 1} = a_{n} (3 a_{n - 1} + 1)$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{2} = - 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，求 $b_{n}$ 的最小值．

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22. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 13$ ， $d = - 4$ ，记 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} |$ ，求 $T_{n}$ .

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23. 已知等比数列 ${a_{n}}, a_{1} = 2$ ．数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} \dots \dots a_{n} = 2^{\frac{b_{n}}{2}} (n \in N^{*})$ 且 $b_{3} = 6 + b_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}} (n \in N *)$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
①求 $S_{n}$ ；

②求正整数k使得对任意 $n \in N *$ ，都有 $S_{k} \geq S_{n}$ ．

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24. 在① $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{21}$ 成等比数列② $S_{4} = 28$ ，③ $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 4$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．
已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其n前项和， $a_{2} = 5$ ，_______， ${b_{n}}$ 是等比数列， $b_{2} = 9$ ， $b_{1} + b_{3} = 30$ ，公比 $q > 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的所有项分别构成集合A ， B ，将 $A \cup B$ 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ${c_{n}}$ ，求 $T_{80} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{80}$ ．

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25. 设公比为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{3} = 30$ ， $a_{2} - a_{1} = 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \log_{5} a_{n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{m - 1} S_{m} = b_{m} S_{m + 1} (m \geq 2)$ ，求 $m$ 的值.

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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