高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3 等比数列前n项和

试卷更新日期：2021-12-14 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = \frac{1}{2}$ ， $a_{6} + a_{7} = 3$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则满足 $S_{n} + a_{1} > T_{n}$ 的最大正整数 $n$ 的值为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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2. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 8$ ，数列 ${a_{n} + a_{n + 2}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{2}} =$ （）

A、32 B、21 C、16 D、8

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3. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{4} = 10$ ， $S_{12} = 70$ ，则 $S_{8} =$ （）．

A、30 B、-20 C、-30 D、30或-20

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 4$ ， $S_{6} = 12$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、28 B、36 C、 $\frac{146}{3}$ D、 $\frac{292}{3}$

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} + a_{4} + a_{7} = 9 ， a_{2} + a_{5} + a_{8} = 18 ，$ 则 $S_{9} =$ （）

A、27 B、36 C、63 D、72

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6. 已知递增等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} > 0$ ， $a_{2} a_{4} = 64$ ， $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $S_{n} = 126$ ，则 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为2的等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = \frac{65}{64}$ ，则数列 ${\log_{2} a_{n}}$ 前20项和为（）

A、﹣360 B、﹣380 C、360 D、380

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8. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 3$ ， $a_{3} + a_{6} + a_{9} = 27$ ，则数列 ${a_{n}}$ 中前9项的和为（）

A、21或39 B、21 C、45 D、39

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二、多选题

9. 已知 $S_{n}$ 是公比q的正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 255$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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10. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{3} = \frac{7}{8}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} \leq \frac{1}{2}$ B、 $a_{n} \geq \frac{1}{2}$ C、 $S_{n} < 1$ D、 $2 \lg a_{n} = \lg a_{n - 2} + \lg a_{n + 2} (n \geq 3)$

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11. 如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $F_{n} (n \in N^{*})$ 为边 $B C$ 上的一列点，连接 $A F_{n}$ 交 $B D$ 于 $G_{n}$ ，点 $G_{n} (n \in N^{*})$ 满足 $\vec{G_{n} F_{n}} + 2 (1 + a_{n}) \vec{G_{n} C} = a_{n + 1} \vec{G_{n} B}$ ，其中数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的正项数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 13$ B、数列 ${3 + a_{n}}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 4 n - 3$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - 3 n$

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12. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $a_{1} > 1$ ， $a_{6} a_{7} > 1, \frac{a_{6} - 1}{a_{7} - 1} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{6} a_{8} > 1$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{7}$ D、 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{6}$

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三、填空题

13. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙尺；若城墙厚20尺，则至少在第天相遇．

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14. 已知等比数列{a_n}的公比q>0，其前n项和为S_n ，且S₂=6，S₃=14，则a₁=.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n} ， T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2^{n} + 1}{4}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ .

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16. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = \frac{1}{8}$ ，那么数列 ${a_{n}}$ 的公比为，数列 ${\frac{1}{a}}$ 的前5项的和为．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} + S_{n} = 1$ ，则 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{S_{8}}{a_{8}} =$ ．

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四、解答题

18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3 n + 1 ， n \in N .$

(1)、求证：数列 ${a_{n} - n}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 2 b_{1} = 4$ ，且 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列， ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${| b_{n} |}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 15$ ， $S_{6} = 9 S_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{2} a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $S_{3} = 2 a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} \cdot a_{n + 1})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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22. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 5$ ， $a_{2} + a_{4} = 10$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \log_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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23. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} = 20, a_{2} + a_{3} = 80$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{b_{n}}{S_{n} + 11} \leq λ$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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24. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = 1, a_{4} = 8$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列， $b_{1} = 3, b_{4} = 12$ ，

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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