高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3 等比数列

试卷更新日期：2021-12-14 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 16$ ，则 $a_{6} - a_{5} =$ （）

A、32 B、-48 C、16 D、-48或16

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2. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且首项为31，公比为 $\frac{1}{2}$ ，则数列的前 $n$ 项积取得最大值时， $n =$ （）

A、15 B、16 C、5 D、6

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3. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{5} - a_{3} = 12$ ， $a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n} - 1$ B、 $2^{1 - n}$ C、 $2^{n - 1}$ D、 $2^{1 - n}$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，若 ${a_{n}}$ 为递增数列且 $a_{2} < 0$ ，则（）

A、 $q < - 1$ B、 $- 1 < q < 0$ C、 $0 < q < 1$ D、 $q > 1$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为各项都是正数的等比数列， $a_{6} \cdot a_{8} = 16 a_{5}^{2}$ ，则 $\frac{a_{4} + a_{7}}{a_{5} + a_{8}} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列 $a_{5} = 8 a_{2} ， a_{1} + a_{2} = 12 ，$ 则 $a_{1} =$ （）

A、4 B、-2 C、-6 D、8

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2 ， a_{5} = - 16$ ，则公比 $q =$ （）

A、2 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \cdot q$ （ $q$ 为非零常数）， $\frac{a_{51}}{a_{50}} \cdot \frac{a_{52}}{a_{51}} = 2^{\frac{1}{50}}$ ，则 $a_{101} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2^{100}}$ C、1024 D、 $\frac{1}{2^{50}}$

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二、多选题

9. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} < 0$ ，公比 $0 < q < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 中的所有偶数项可以组成一个公比为 $q^{2}$ 的等比数列 B、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对 $\forall n > 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{n} < a_{n} + a_{1}$ 恒成立 C、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 D、数列 ${\lg (- a_{n})}$ 是首项和公差都小于0的等差数列

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、 $S_{n} = 3^{n - 1}$ B、 ${S_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， & n = 1 ， \\ 2 \cdot 3^{n - 2} ， & n \geq 2 \end{array}$

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11. 对任意等比数列 ${a_{n}}$ ，下列说法一定正确的是（）

A、 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ 成等比数列 B、 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列 C、 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列 D、 $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{9}$ 成等比数列

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为q的等比数列， $b_{n} = a_{n} + 4$ ，若数列 ${b_{n}}$ 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 ， a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ ．

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14. 设各项为正的等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $3 a_{2}$ ， $a_{1}$ ， $2 a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n} =$ ．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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16. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{2} a_{3} = 8$ ， $a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $a_{6} =$ ．

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17. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 $a_{1}$ 尺，第二天被截取剩下的一半剩下 $a_{2}$ 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下 $a_{5}$ 尺，则 $\frac{a_{1} + a_{2}}{a_{5}} =$ ．

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四、解答题

18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2 ， a_{4} = 4$ ，正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足首项为1，前3项和为7.

(1)、求 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} a_{4} = 9$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ ；

(2)、设 $b_{n} = a_{2 n \cdot 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{8} a_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、比较 $S_{n}$ 与2的大小，并说明理由．

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21. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是各项为正数且首项为2的等比数列， $b_{2} + b_{3} = 12$ ， $b_{3} = a_{4} - 2 a_{1}$ ， $a_{6} = b_{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $b_{1} b_{2} - b_{2} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n + 1} b_{n} b_{n + 1}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n - 1$ ，设 $b_{n} = a_{n} + n$ ， $c_{n} = a_{n} + λ n$ （ $λ$ 为实数）．

(1)、求证： ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 ${c_{n}}$ 是递增数列，求实数 $λ$ 的取值范围．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

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