重庆市九龙坡区2022届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 0}$ ， $B = {x \geq a}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 3 i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“ $\forall x > 0$ ，有 $e^{x} > 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ，有 $e^{x_{0}} > 1$ B、 $\forall x_{0} > 0$ ，有 $e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x_{0} \leq 0$ ，有 $e^{x_{0}} \leq 1$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ，有 $e^{x_{0}} \leq 1$

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4. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为 ${a_{n}}$ ，则 $a_{15} =$ （）

A、98 B、112 C、128 D、132

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5. “ $\tan α = 3$ ”是“ $\cos 2 α = - \frac{4}{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = \log_{8} 3$ ， $c = \frac{1}{2} \ln \sqrt{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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7. 有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 已知 $\vec{A B_{1}} ⊥ \vec{A B_{2}}$ ， $| O B_{1} | = | O B_{2} | = 1$ ， $\vec{A P} = \vec{A B_{1}} + \vec{A B_{2}}$ ， $| \vec{O P} | < \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{O A} |$ 的取值范围（）

A、 $(\frac{\sqrt{7}}{3} ， \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{7}}{2} ， \sqrt{2}]$ C、 $(\frac{\sqrt{7}}{3} ， \sqrt{2}]$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{2} ， \sqrt{3}]$

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二、多选题

9. 下列说法错误的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $m \vec{a} = m \vec{b}$ ， $m \in R$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{c} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $m \vec{a} = \vec{0}$ ， $m \in R$ ，则 $m = \vec{0}$ 或 $\vec{a} = \vec{0}$

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10. 已知 ${(a x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{10} (a > 0)$ 展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）

A、展开式中偶数项的二项式系数和为512 B、展开式中第6项的系数最大 C、展开式中存在含 $x^{6}$ 的项 D、展开式中第3项的系数为45

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11. 创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（）

A、年收入在 $[500 ， 600)$ 万元的中小企业约有16家 B、样本的中位数大于400万元 C、估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元 D、样本在区间 $[500 ， 700]$ 内的频数为18

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} e^{x} ， x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{2}} ， x \geq 1 \end{array}$ ，方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) = 0 (a \in R)$ 有两个不等实根，则下列选项正确的是（）

A、点 $(0 ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1)$ ， $x_{2} \in (1 ， 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ C、 $x = - 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $a$ 的取值范围是 $(\frac{2}{e^{2}} ， \frac{e^{2}}{8}) \cup [\frac{e}{2} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 3)$ ， $\vec{c} = (1 ， m)$ ，若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} + \vec{c}$ 共线，则实数 $m =$ .

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{x + y}{x y}$ 的最小值为.

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15. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x) = f (2 - x)$ ；②当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递减.

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16. 在某个电子竞技平台中， $n$ 名同学在玩一种“数字智力”游戏.这些同学编号依次为1，2，3，…， $n$ .在这个电子竞技平台的这种“数字智力”游戏中，每个同学会看到自己的一个数对，用 $(p ， q)$ 表示.游戏规则是：编号为 $k$ 的同学看到自己的数对是 $(a_{k} ， a_{k + 1})$ ，且满足 $a_{k + 1} - a_{k} = k (k \in N^{*})$ .若在平台中告之编号为1的同学看到自己的数对是 $(5 ， 6)$ ，则编号为3的同学看到自己的数对是；某位同学看到自己的数对告之其他同学为 $(305 ， q)$ ，请你猜出这位同学看到的数对中的 $q =$ .

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} b \sin C + c \cos B = \sqrt{3} c$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、在下列条件①②中选择一个作为已知，并求出 $A C$ 边上中线 $B D$ 的长度.
① $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ；② $△ A B C$ 的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ .

注：求 $B D$ 的长度，如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (π + ω x) \cos (π - ω x) - \sin^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的 $\sqrt{2}$ 倍，得到函数 $y = g (x)$ ，若 $[g (x) - g (- \frac{7 π}{4})] [g (x) - g (\frac{11 π}{12})] > 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + \frac{1}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设数列 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 为张扬学生的个性，彰显青春的智慧与力量，2021年5月某重点高中举办了一年一度的大型学生社团活动，学生社团有近40个，吸引了众多学生.此次活动由学校高一、高二的学生参加，参加社团的学生共有400多人.已知学校高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，从高一、高二所有学生中按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高条形图表示参加社团活动的学生频率.

(1)、求该重点高中参加社团的学生中，任选1人是女生的概率；

(2)、若抽取了100名学生，完成下列

2 \times 2

列联表，并依据小概率值

p = 0.05

的独立性检验，能否认为该学校高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由.

	参加社团	未参加社团	合计
男生
女生
合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635

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21. 已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + x - \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、已知直线 $l$ 与函数 $f (x)$ 相切于点 $(2 ， m)$ ，且直线 $l$ 的斜率为 $\frac{9}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程及 $a$ 的值；

(2)、当 $a < 0$ 时，记 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，求证：存在 $a_{0} < 0$ ，使得 $g (a_{0}) > 2$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x (e^{x} - 1)}{e^{x}}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a b \neq 0$ ，若 $a e^{a + b} - a e^{b} = b e^{a + b} - b e^{a}$ ，求证： $a + b > 0$ .

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