浙江省宁波市三锋教研联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2. 下列事件中，是随机事件的是（）
①射击运动员某次比赛第一枪击中9环②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14③13个人中至少有2个人的生日在同一个月④抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上

A、①③ B、③④ C、①④ D、②③

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3. 已知直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $4 x + m y + 3 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{20}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 已知直线 $l$ 过圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的圆心，且与直线 $x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $l$ 的方程是（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x - y + 3 = 0$ D、 $x + y - 3 = 0$

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5. 若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1 ， 2 ， 2)$ ，点 $A (3 ， 0 ， 2)$ ， $B (5 ， 1 ， 3)$ ， $A \notin α$ ， $B \in α$ ， $A$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{C D} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $\vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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7. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.4，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3表示击中目标，4，5，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数；
162 966 151 525 271 932 592 408 569 683

471 257 333 027 554 488 730 163 537 039

据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（）

A、0.45 B、0.55 C、0.65 D、0.75

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8. 已知点 $M (- 2 ， 0)$ ，过点 $N (2 ， 0)$ 作直线 $2 a x + (a + b) y + 4 b = 0$ （ $a$ ， $b$ 不同时为0）的垂线，垂足为 $H$ ，则 $| M H |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5} - 3$ B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、 $2 \sqrt{5} - 1$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、点 $(0 ， 2)$ 关于直线 $x - y = 0$ 的对称点为 $(2 ， 0)$ B、已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则直线 $A B$ 的方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ C、过点 $P (2 ， 1)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，则切线方程为 $3 x - 4 y + 5 = 0$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$ 或 $x - y = 0$

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10. 已知 $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α$ ， $β$ 的法向量（ $α$ ， $β$ 不重合）， $\vec{v}$ 为直线 $l$ 的方向向量，那么下列选项中，正确的是（）

A、 $\vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l // α$ B、 $\vec{n_{1}} // \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α // β$ C、 $\vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ⊥ α$ D、 $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$

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11. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - 2 y = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $2 x + y - 2 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{5} + 1$

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12. 已知事件 $A$ ， $B$ ，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列结论正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.4$ ， $P (A B) = 0.2$ B、如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.6$ ， $P (A B) = 0$ C、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (A \cup B) = 0.6$ ， $P (A B) = 0$ D、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.48$ ， $P (\bar{A} B) = 0.12$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， x ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 6 ， y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y =$ ．

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14. 从 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 中随机选取一个数为 $a$ ，从 ${1 ， 2 ， 3}$ 中随机选取一个数为 $b$ ，则 $b > a$ 的概率是．

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15. 已知 $\vec{a} = (x ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， y ， 5)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的取值范围为．

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16. 排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 $\frac{3}{5}$ ，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是．

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四、解答题

17. 已知平行四边形 $A B C D$ 的两对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $M (\frac{3}{2} ， \frac{5}{2})$ ，其中 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (1 ， 1)$ ．

(1)、求点 $D$ 的坐标及 $A D$ 直线方程；

(2)、求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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18. 国家射箭女队的某优秀队员射箭一次，击中环数的概率统计如下：

命中环数

10环

9环

8环

7环

概率

0.30

0.32

0.20

0.10

若该射箭队员射箭一次，求：

(1)、射中9环或10环的概率；

(2)、至少射中8环的概率；

(3)、射中不足8环的概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2$ ．

(1)、求证： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、求 $P A$ 与平面 $P B C$ 的所成角的大小．

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20. 某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{5}$ ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{5}{6}$ ， $\frac{3}{4}$ ，所有考试是否合格相互之间没有影响

(1)、甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；

(2)、这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．

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21. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、当 $B_{1} D$ 为何值时，平面 $B B_{1} C_{1} C$ 与平面 $D F E$ 所成的锐二面角为 $45 °$ ？

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22. 已知圆 $G$ 过点 $M (- 1 ， 3)$ ， $N (6 ， 4)$ 且圆心 $G$ 在 $x$ 轴．

(1)、求圆 $G$ 的标准方程；

(2)、圆 $G$ 与 $x$ 轴的负半轴的交点为 $A$ ，过点 $A$ 作两条直线分别交圆于 $B$ ， $C$ 两点，且 $k_{A B} \cdot k_{A C} = - 5$ ，求证：直线 $B C$ 恒过定点．

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命中环数	10环	9环	8环	7环
概率	0.30	0.32	0.20	0.10