四川省成都市郫都区2021-2022学年高三上学期理数阶段性检测试卷（二）

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 < 0}$ ， $B = {x | (x - 6) (x + 1) < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 6 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 6)$

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2. 设 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则z的共轭复数的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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3. 对任意非零实数 $a$ ， $b$ ，若 $a \otimes b$ 的运算原理如图所示，则 $2^{0.5} \otimes \log_{0.5} \frac{1}{4}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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4. 设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式 $\frac{3 f (- x) - 2 f (x)}{5 x}$ ≤0的解集为（）

A、(-∞，-2]∪(0，2] B、[-2，0)∪[2，+∞) C、(-∞，-2]∪[2，+∞) D、[-2，0)∪(0，2]

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - \ln x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 $3 ： 2$ .若在该“牟合方盖”内任取一点，此点取自正方体内切球内的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 已知 $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，为了得到函数 $g (x) = \sin ω x$ 的图象，只要将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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8. 已知2×10¹⁰＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物 $A B$ 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的 $C$ ， $D$ 两个观测点，并在 $C$ ， $D$ 两点处分别测得塔顶的仰角分别为 $45 °$ 和 $60 °$ ，且 $∠ B D C = 60 °$ ，则此建筑物的高度为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ 米 B、 $5 \sqrt{3}$ 米 C、10米 D、5米

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10. 已知 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (x) < - f^{'} (x)$ ，则不等式 $f (x + 1) > (x - 1) f (x^{2} - 1)$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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11. 定义域为R的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{| x - 2 |} ， x \neq 2 ， \\ 1 ， x = 2 ， \end{array}$ 若关于x的函数 $h (x) = f^{2} (x) + a f (x) + \frac{1}{2}$ 有5个不同的零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 、 $x_{5}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{5}^{2}$ 等于（）．

A、15 B、20 C、30 D、35

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12. 已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，角A，B， $C$ 所对的边分别为a，b，c，且 $a = 3$ ，若 $\vec{B O} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则当角 $C$ 取到最大值时 $△ A B C$ 的面积为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ 在点 $(2 ， 1)$ 处的切线方程为．

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14. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \leq 1 ， \\ 2 x + y \geq - 1 ， \\ x y \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x - y$ 的最小值为.

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15. 已知 $α$ 为锐角且 $\frac{\tan α}{\tan (α + \frac{π}{4})} = - \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2})$ 的值是．

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16. 直线 $l ： x - 2 y + 2 = 0$ ，动直线 $l_{1} ： a x - y = 0$ ，动直线 $l_{2} ： x + a y + 2 a - 4 = 0$ ．设直线 $l$ 与两坐标轴分别交于 $A ， B$ 两点，动直线l₁与l₂交于点P，则 $△ P A B$ 的面积最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = n - 1$ ，其中 $n \in N^{*}$ ；

(1)、证明数列 ${a_{n} + n}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天销售量y（单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} z_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} z_{i} y_{i}$
0.33	10	3	0.164	100	68	350

表中 $z = \frac{1}{x}$ ， $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ ， $\sqrt{4.8} \approx 2.19$ ．

（参考公式：回归方程 $y = b x + a$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ）

(1)、根据散点图判断，

y = a + b x

与

y = c + k \cdot x^{- 1}

哪一个更适合作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果，试建立y关于x的回归方程；

(3)、若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）

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19. 如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、若 $S_{Δ S A P} = 3 S_{Δ A P D}$ ，求二面角 $C - A P - D$ 的余弦值．

(3)、在（2）的条件下，侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ ．若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 6$ ，当 $P$ 在 $E$ 上且 $P F_{1}$ 垂直 $x$ 轴时， $| P F_{2} | = 7 | P F_{1} |$ ．

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、 $A$ 为 $E$ 的左顶点， $B$ 为 $E$ 的上顶点， $M$ 是 $E$ 上第四象限内一点， $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $B M$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，求四边形 $A B D C$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域内是单调增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $3 \ln 2 + 4 \ln 3 + 5 \ln 4 + \dots + (n + 2) \ln (n + 1) > n^{2} + n$ （其中 $n \in N^{*}$ ）．

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22. 已知曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，直线 $l$ ： ${\begin{cases} x = 2 + t ， \\ y = 2 - 2 t ， \end{cases}$ （ $t$ 为参数）.
（I）写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；

（II）过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $30 °$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$ ， $| P A |$ 的最大值与最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 3 x - 1$ 的解集；

(2)、函数 $f (x)$ 的最小值为实数 $m$ ，若三个实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $a + 2 b + 3 c = m$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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