山西省怀仁市2022届高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $N = {y | y = π^{x}}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = {(1 - x)}^{- \frac{3}{4}} + {(2 x - 1)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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3. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (λ ， 8)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、12 B、14 C、15 D、16

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5. 定积分 $\int_{- 2}^{2} (\sin x + \sqrt{4 - x^{2}}) d x$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{2} \cdot e^{| x |}$ ， $a = f (l o g_{3} \sqrt{5})$ ， $b = f (l o g_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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7. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} + | x | - 2}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = 4 - f (2 + x)$ ，函数 $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ .若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象共有 $214$ 个交点，记作 $P_{i} (x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 214)$ ，则 $\sum_{x = 1}^{214} (x_{i} + y_{i})$ 的值为（）

A、 $642$ B、 $1284$ C、 $214$ D、 $321$

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9. 下列说法中正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3} ， + \infty)$ B、向量 ${\vec{e}}_{1} = (2 ， - 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{1}{2} ， - \frac{3}{4})$ ，可以作为平面内所有向量的一组基底 C、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，且两个向量是同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30°

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ ， $F (x) = f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} f^{'} (x)$ 为奇函数，则下列叙述四个结论中正确的是（）

A、 $\tan φ = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上存在零点，则a的最小值为 $\frac{5 π}{6}$ C、 $F (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 有且仅有一个极大值点

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$ ，则角A的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ C、 $(0 ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$

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12. 设函数 $f (x) = - x^{2} - 6 x + m ， g (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - m ， P (x_{1} ， f (x_{1})) ， Q (x_{2} ， g (x_{2}))$ ，若 $\forall x_{1} \in [- 5 ， - 2] ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得直线 $P Q$ 的斜率为0，则 $m$ 的最小值为（）

A、-8 B、 $- \frac{5}{2}$ C、-6 D、2

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x} - 2 x$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{}_{} x \leq 0 \\ f (x - 1) - f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2021) =$ .

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15. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 $A (1 ， - \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则当 $t \in [0 ， m)$ 时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是．

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $2 λ + μ$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别是 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 1$ .

(1)、求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最小值；

(2)、已知 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ .

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18. 已知二次函数f(x)＝ax²＋x，若对任意x₁、x₂∈R，恒有2f $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ≤f(x₁)＋f(x₂)成立，不等式f(x)＜0的解集为A．

(1)、求集合A；

(2)、设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

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19. 在函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in R$ ， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且图象上一个最低点为 $M (\frac{2 π}{3} ， - 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 时，函数 $h (x) = 2 f (x) + 1 - m$ 有一个零点，求m的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x} + a x + b \sin x (a ， b \in R)$ .

(1)、当 $b = 0$ 时， $f (x)$ 为 $R$ 上的增函数，求 $a$ 的最小值；

(2)、若 $a > - 1 ， 2 < b < 3$ ， $f (a x - 1) + f (x - a) < 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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21. 本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因素，该手机全球每日的销售量y（单位：万台）与销售单价x（单位：千元/台， $4 < x \leq 8$ ），当 $4 < x \leq 6$ 时，满足关系式 $y = m (x - 6) + \frac{n}{x - 4}$ （m ， n为常数），当 $6 < x \leq 8$ 时，满足关系式 $y = - 20 x + 200$ .已知当销售价格为5千元/台时，全球每日可售出该手机70万台，当销售价格定为6千元/台时，全球每日可售出该手机80万台.

(1)、求m ， n的值，并求出该手机公司每日销售量的最小值；

(2)、若该手机的成本为4000元/台，试确定销售价格x为何值时，该手机公司每日销售手机所获利润最大.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln (x + 1) - \frac{1}{2} a x^{2} - x$ （ $a \in R$ ）.
（Ⅰ）设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，求函数 $f^{'} (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有最大值，求实数 $a$ 的取值范围.

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